Integral de (2-x)(x-1)dx dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 2 - x$.

      Luego que $du = - dx$ y ponemos $du$:

      $\int \left(u^{2} - u\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- u\right)\, du = - \int u\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

         El resultado es: $\frac{u^{3}}{3} - \frac{u^{2}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(2 - x\right)^{3}}{3} - \frac{\left(2 - x\right)^{2}}{2}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(2 - x\right) \left(x - 1\right) = - x^{2} + 3 x - 2$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- x^{2}\right)\, dx = - \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{3}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 x\, dx = 3 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 x^{2}}{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \left(-2\right)\, dx = - 2 x$

      El resultado es: $- \frac{x^{3}}{3} + \frac{3 x^{2}}{2} - 2 x$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(1 - 2 x\right) \left(x - 2\right)^{2}}{6}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(1 - 2 x\right) \left(x - 2\right)^{2}}{6}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(1 - 2 x\right) \left(x - 2\right)^{2}}{6}+ \mathrm{constant}$