Integral de 6*x^2*cos(8*x/7+9)/5 dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \frac{6 x^{2} \cos{\left(\frac{8 x}{7} + 9 \right)}}{5}\, dx = \frac{\int 6 x^{2} \cos{\left(\frac{8 x}{7} + 9 \right)}\, dx}{5}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 6 x^{2} \cos{\left(\frac{8 x}{7} + 9 \right)}\, dx = 6 \int x^{2} \cos{\left(\frac{8 x}{7} + 9 \right)}\, dx$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = x^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{8 x}{7} + 9 \right)}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. que $u = \frac{8 x}{7} + 9$.

            Luego que $du = \frac{8 dx}{7}$ y ponemos $\frac{7 du}{8}$:

            $\int \frac{7 \cos{\left(u \right)}}{8}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{7 \int \cos{\left(u \right)}\, du}{8}$

               1. La integral del coseno es seno:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{7 \sin{\left(u \right)}}{8}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{7 \sin{\left(\frac{8 x}{7} + 9 \right)}}{8}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = \frac{7 x}{4}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{8 x}{7} + 9 \right)}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{7}{4}$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. que $u = \frac{8 x}{7} + 9$.

            Luego que $du = \frac{8 dx}{7}$ y ponemos $\frac{7 du}{8}$:

            $\int \frac{7 \sin{\left(u \right)}}{8}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{7 \int \sin{\left(u \right)}\, du}{8}$

               1. La integral del seno es un coseno menos:

                  $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{7 \cos{\left(u \right)}}{8}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{7 \cos{\left(\frac{8 x}{7} + 9 \right)}}{8}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{49 \cos{\left(\frac{8 x}{7} + 9 \right)}}{32}\right)\, dx = - \frac{49 \int \cos{\left(\frac{8 x}{7} + 9 \right)}\, dx}{32}$

         1. que $u = \frac{8 x}{7} + 9$.

            Luego que $du = \frac{8 dx}{7}$ y ponemos $\frac{7 du}{8}$:

            $\int \frac{7 \cos{\left(u \right)}}{8}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{7 \int \cos{\left(u \right)}\, du}{8}$

               1. La integral del coseno es seno:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{7 \sin{\left(u \right)}}{8}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{7 \sin{\left(\frac{8 x}{7} + 9 \right)}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{343 \sin{\left(\frac{8 x}{7} + 9 \right)}}{256}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{21 x^{2} \sin{\left(\frac{8 x}{7} + 9 \right)}}{4} + \frac{147 x \cos{\left(\frac{8 x}{7} + 9 \right)}}{16} - \frac{1029 \sin{\left(\frac{8 x}{7} + 9 \right)}}{128}$

   Por lo tanto, el resultado es: $\frac{21 x^{2} \sin{\left(\frac{8 x}{7} + 9 \right)}}{20} + \frac{147 x \cos{\left(\frac{8 x}{7} + 9 \right)}}{80} - \frac{1029 \sin{\left(\frac{8 x}{7} + 9 \right)}}{640}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{21 x^{2} \sin{\left(\frac{8 x}{7} + 9 \right)}}{20} + \frac{147 x \cos{\left(\frac{8 x}{7} + 9 \right)}}{80} - \frac{1029 \sin{\left(\frac{8 x}{7} + 9 \right)}}{640}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{21 x^{2} \sin{\left(\frac{8 x}{7} + 9 \right)}}{20} + \frac{147 x \cos{\left(\frac{8 x}{7} + 9 \right)}}{80} - \frac{1029 \sin{\left(\frac{8 x}{7} + 9 \right)}}{640}+ \mathrm{constant}$