Integral de dx/(0.5*x+1)^4 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1}{\left(\frac{x}{2} + 1\right)^{4}} = \frac{16}{\left(x + 2\right)^{4}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{16}{\left(x + 2\right)^{4}}\, dx = 16 \int \frac{1}{\left(x + 2\right)^{4}}\, dx$

      1. que $u = x + 2$.

         Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{1}{u^{4}}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{1}{3 \left(x + 2\right)^{3}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{16}{3 \left(x + 2\right)^{3}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1}{\left(\frac{x}{2} + 1\right)^{4}} = \frac{16}{x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{16}{x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16}\, dx = 16 \int \frac{1}{x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{1}{x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16} = \frac{1}{\left(x + 2\right)^{4}}$

      2. que $u = x + 2$.

         Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{1}{u^{4}}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{1}{3 \left(x + 2\right)^{3}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{16}{3 \left(x + 2\right)^{3}}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1}{\left(\frac{x}{2} + 1\right)^{4}} = \frac{1}{\frac{x^{4}}{16} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{3 x^{2}}{2} + 2 x + 1}$

   2. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1}{\frac{x^{4}}{16} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{3 x^{2}}{2} + 2 x + 1} = \frac{16}{\left(x + 2\right)^{4}}$

   3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{16}{\left(x + 2\right)^{4}}\, dx = 16 \int \frac{1}{\left(x + 2\right)^{4}}\, dx$

      1. que $u = x + 2$.

         Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{1}{u^{4}}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{1}{3 \left(x + 2\right)^{3}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{16}{3 \left(x + 2\right)^{3}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{16}{3 \left(x + 2\right)^{3}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{16}{3 \left(x + 2\right)^{3}}+ \mathrm{constant}$