Integral de (x^2+5*x-1)/sqrt(x) dx
Solución
Solución detallada
Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
que u = x u = \sqrt{x} u = x .
Luego que d u = d x 2 x du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}} d u = 2 x d x y ponemos d u du d u :
∫ ( 2 u 4 + 10 u 2 − 2 ) d u \int \left(2 u^{4} + 10 u^{2} - 2\right)\, du ∫ ( 2 u 4 + 10 u 2 − 2 ) d u
Integramos término a término:
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫ 2 u 4 d u = 2 ∫ u 4 d u \int 2 u^{4}\, du = 2 \int u^{4}\, du ∫ 2 u 4 d u = 2 ∫ u 4 d u
Integral u n u^{n} u n es u n + 1 n + 1 \frac{u^{n + 1}}{n + 1} n + 1 u n + 1 when n ≠ − 1 n \neq -1 n = − 1 :
∫ u 4 d u = u 5 5 \int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5} ∫ u 4 d u = 5 u 5
Por lo tanto, el resultado es: 2 u 5 5 \frac{2 u^{5}}{5} 5 2 u 5
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫ 10 u 2 d u = 10 ∫ u 2 d u \int 10 u^{2}\, du = 10 \int u^{2}\, du ∫ 10 u 2 d u = 10 ∫ u 2 d u
Integral u n u^{n} u n es u n + 1 n + 1 \frac{u^{n + 1}}{n + 1} n + 1 u n + 1 when n ≠ − 1 n \neq -1 n = − 1 :
∫ u 2 d u = u 3 3 \int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3} ∫ u 2 d u = 3 u 3
Por lo tanto, el resultado es: 10 u 3 3 \frac{10 u^{3}}{3} 3 10 u 3
La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
∫ ( − 2 ) d u = − 2 u \int \left(-2\right)\, du = - 2 u ∫ ( − 2 ) d u = − 2 u
El resultado es: 2 u 5 5 + 10 u 3 3 − 2 u \frac{2 u^{5}}{5} + \frac{10 u^{3}}{3} - 2 u 5 2 u 5 + 3 10 u 3 − 2 u
Si ahora sustituir u u u más en:
2 x 5 2 5 + 10 x 3 2 3 − 2 x \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 \sqrt{x} 5 2 x 2 5 + 3 10 x 2 3 − 2 x
Método #2
Vuelva a escribir el integrando:
( x 2 + 5 x ) − 1 x = x 3 2 + 5 x − 1 x \frac{\left(x^{2} + 5 x\right) - 1}{\sqrt{x}} = x^{\frac{3}{2}} + 5 \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}} x ( x 2 + 5 x ) − 1 = x 2 3 + 5 x − x 1
Integramos término a término:
Integral x n x^{n} x n es x n + 1 n + 1 \frac{x^{n + 1}}{n + 1} n + 1 x n + 1 when n ≠ − 1 n \neq -1 n = − 1 :
∫ x 3 2 d x = 2 x 5 2 5 \int x^{\frac{3}{2}}\, dx = \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} ∫ x 2 3 d x = 5 2 x 2 5
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫ 5 x d x = 5 ∫ x d x \int 5 \sqrt{x}\, dx = 5 \int \sqrt{x}\, dx ∫ 5 x d x = 5 ∫ x d x
Integral x n x^{n} x n es x n + 1 n + 1 \frac{x^{n + 1}}{n + 1} n + 1 x n + 1 when n ≠ − 1 n \neq -1 n = − 1 :
∫ x d x = 2 x 3 2 3 \int \sqrt{x}\, dx = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} ∫ x d x = 3 2 x 2 3
Por lo tanto, el resultado es: 10 x 3 2 3 \frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{3} 3 10 x 2 3
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫ ( − 1 x ) d x = − ∫ 1 x d x \int \left(- \frac{1}{\sqrt{x}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx ∫ ( − x 1 ) d x = − ∫ x 1 d x
Integral x n x^{n} x n es x n + 1 n + 1 \frac{x^{n + 1}}{n + 1} n + 1 x n + 1 when n ≠ − 1 n \neq -1 n = − 1 :
∫ 1 x d x = 2 x \int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx = 2 \sqrt{x} ∫ x 1 d x = 2 x
Por lo tanto, el resultado es: − 2 x - 2 \sqrt{x} − 2 x
El resultado es: 2 x 5 2 5 + 10 x 3 2 3 − 2 x \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 \sqrt{x} 5 2 x 2 5 + 3 10 x 2 3 − 2 x
Ahora simplificar:
2 x ( 3 x 2 + 25 x − 15 ) 15 \frac{2 \sqrt{x} \left(3 x^{2} + 25 x - 15\right)}{15} 15 2 x ( 3 x 2 + 25 x − 15 )
Añadimos la constante de integración:
2 x ( 3 x 2 + 25 x − 15 ) 15 + c o n s t a n t \frac{2 \sqrt{x} \left(3 x^{2} + 25 x - 15\right)}{15}+ \mathrm{constant} 15 2 x ( 3 x 2 + 25 x − 15 ) + constant
Respuesta:
2 x ( 3 x 2 + 25 x − 15 ) 15 + c o n s t a n t \frac{2 \sqrt{x} \left(3 x^{2} + 25 x - 15\right)}{15}+ \mathrm{constant} 15 2 x ( 3 x 2 + 25 x − 15 ) + constant
Respuesta (Indefinida)
[src]
/
|
| 2 5/2 3/2
| x + 5*x - 1 ___ 2*x 10*x
| ------------ dx = C - 2*\/ x + ------ + -------
| ___ 5 3
| \/ x
|
/
∫ ( x 2 + 5 x ) − 1 x d x = C + 2 x 5 2 5 + 10 x 3 2 3 − 2 x \int \frac{\left(x^{2} + 5 x\right) - 1}{\sqrt{x}}\, dx = C + \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 \sqrt{x} ∫ x ( x 2 + 5 x ) − 1 d x = C + 5 2 x 2 5 + 3 10 x 2 3 − 2 x
Gráfica
0.00 1.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 -200 100
Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.