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Resolución de integrales/ sqrt(x)/ 2*x*(sqrt(x)-4)/x^2

Integral de 2*x*(sqrt(x)-4)/x^2 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                   
  /                   
 |                    
 |      /  ___    \   
 |  2*x*\\/ x  - 4/   
 |  --------------- dx
 |          2         
 |         x          
 |                    
/                     
0
∫012x(x−4)x2 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{2 x \left(\sqrt{x} - 4\right)}{x^{2}}\, dx 
Integral(((2*x)*(sqrt(x) - 4))/x^2, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=xu = \sqrt{x}.

      Luego que du=dx2xdu = \frac{dx}{2 \sqrt{x}} y ponemos dudu:

      ∫4u−16u du\int \frac{4 u - 16}{u}\, du

      1. que u=4uu = 4 u.

        Luego que du=4dudu = 4 du y ponemos dudu:

        ∫u−16u du\int \frac{u - 16}{u}\, du

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          u−16u=1−16u\frac{u - 16}{u} = 1 - \frac{16}{u}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫1 du=u\int 1\, du = u

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−16u) du=−16∫1u du\int \left(- \frac{16}{u}\right)\, du = - 16 \int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Por lo tanto, el resultado es: −16log⁡(u)- 16 \log{\left(u \right)}

          El resultado es: u−16log⁡(u)u - 16 \log{\left(u \right)}

        Si ahora sustituir uu más en:

        4u−16log⁡(4u)4 u - 16 \log{\left(4 u \right)}

      Si ahora sustituir uu más en:

      4x−16log⁡(4x)4 \sqrt{x} - 16 \log{\left(4 \sqrt{x} \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      2x(x−4)x2=2x−8x\frac{2 x \left(\sqrt{x} - 4\right)}{x^{2}} = \frac{2 \sqrt{x} - 8}{x}

    2. que u=1xu = \frac{1}{x}.

      Luego que du=−dxx2du = - \frac{dx}{x^{2}} y ponemos −du- du:

      ∫(−21u−8u) du\int \left(- \frac{2 \sqrt{\frac{1}{u}} - 8}{u}\right)\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫21u−8u du=−∫21u−8u du\int \frac{2 \sqrt{\frac{1}{u}} - 8}{u}\, du = - \int \frac{2 \sqrt{\frac{1}{u}} - 8}{u}\, du

        1. que u=1uu = \sqrt{\frac{1}{u}}.

          Luego que du=−1udu2udu = - \frac{\sqrt{\frac{1}{u}} du}{2 u} y ponemos −du- du:

          ∫(−4u−16u) du\int \left(- \frac{4 u - 16}{u}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫4u−16u du=−∫4u−16u du\int \frac{4 u - 16}{u}\, du = - \int \frac{4 u - 16}{u}\, du

            1. que u=4uu = 4 u.

              Luego que du=4dudu = 4 du y ponemos dudu:

              ∫u−16u du\int \frac{u - 16}{u}\, du

              1. Vuelva a escribir el integrando:

                u−16u=1−16u\frac{u - 16}{u} = 1 - \frac{16}{u}

              2. Integramos término a término:

                1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  ∫1 du=u\int 1\, du = u

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫(−16u) du=−16∫1u du\int \left(- \frac{16}{u}\right)\, du = - 16 \int \frac{1}{u}\, du

                  1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

                  Por lo tanto, el resultado es: −16log⁡(u)- 16 \log{\left(u \right)}

                El resultado es: u−16log⁡(u)u - 16 \log{\left(u \right)}

              Si ahora sustituir uu más en:

              4u−16log⁡(4u)4 u - 16 \log{\left(4 u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −4u+16log⁡(4u)- 4 u + 16 \log{\left(4 u \right)}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −41u+16log⁡(41u)- 4 \sqrt{\frac{1}{u}} + 16 \log{\left(4 \sqrt{\frac{1}{u}} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 41u−16log⁡(41u)4 \sqrt{\frac{1}{u}} - 16 \log{\left(4 \sqrt{\frac{1}{u}} \right)}

      Si ahora sustituir uu más en:

      4x−16log⁡(4x)4 \sqrt{x} - 16 \log{\left(4 \sqrt{x} \right)}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      2x(x−4)x2=−8x+2x\frac{2 x \left(\sqrt{x} - 4\right)}{x^{2}} = - \frac{8}{x} + \frac{2}{\sqrt{x}}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−8x) dx=−8∫1x dx\int \left(- \frac{8}{x}\right)\, dx = - 8 \int \frac{1}{x}\, dx

        1. Integral 1x\frac{1}{x} es log⁡(x)\log{\left(x \right)}.

        Por lo tanto, el resultado es: −8log⁡(x)- 8 \log{\left(x \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2x dx=2∫1x dx\int \frac{2}{\sqrt{x}}\, dx = 2 \int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫1x dx=2x\int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx = 2 \sqrt{x}

        Por lo tanto, el resultado es: 4x4 \sqrt{x}

      El resultado es: 4x−8log⁡(x)4 \sqrt{x} - 8 \log{\left(x \right)}

  2. Ahora simplificar:

    4x−8log⁡(x)−32log⁡(2)4 \sqrt{x} - 8 \log{\left(x \right)} - 32 \log{\left(2 \right)}

  3. Añadimos la constante de integración:

    4x−8log⁡(x)−32log⁡(2)+constant4 \sqrt{x} - 8 \log{\left(x \right)} - 32 \log{\left(2 \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

4x−8log⁡(x)−32log⁡(2)+constant4 \sqrt{x} - 8 \log{\left(x \right)} - 32 \log{\left(2 \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                  
 |                                                   
 |     /  ___    \                                   
 | 2*x*\\/ x  - 4/                /    ___\       ___
 | --------------- dx = C - 16*log\4*\/ x / + 4*\/ x 
 |         2                                         
 |        x                                          
 |                                                   
/
∫2x(x−4)x2 dx=C+4x−16log⁡(4x)\int \frac{2 x \left(\sqrt{x} - 4\right)}{x^{2}}\, dx = C + 4 \sqrt{x} - 16 \log{\left(4 \sqrt{x} \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-100000100000
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
-oo
−∞-\infty 
=
= 
-oo
−∞-\infty 
-oo
Respuesta numérica [src] 
-348.723569073004
-348.723569073004

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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