Integral de 1/sqr(x^3)((5*x-2))^4 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(5 x - 2\right)^{16}}{x^{3}} = 152587890625 x^{13} - 976562500000 x^{12} + 2929687500000 x^{11} - 5468750000000 x^{10} + 7109375000000 x^{9} - 6825000000000 x^{8} + 5005000000000 x^{7} - 2860000000000 x^{6} + 1287000000000 x^{5} - 457600000000 x^{4} + 128128000000 x^{3} - 27955200000 x^{2} + 4659200000 x - 573440000 + \frac{49152000}{x} - \frac{2621440}{x^{2}} + \frac{65536}{x^{3}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 152587890625 x^{13}\, dx = 152587890625 \int x^{13}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{13}\, dx = \frac{x^{14}}{14}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{152587890625 x^{14}}{14}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 976562500000 x^{12}\right)\, dx = - 976562500000 \int x^{12}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{12}\, dx = \frac{x^{13}}{13}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{976562500000 x^{13}}{13}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2929687500000 x^{11}\, dx = 2929687500000 \int x^{11}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

         Por lo tanto, el resultado es: $244140625000 x^{12}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 5468750000000 x^{10}\right)\, dx = - 5468750000000 \int x^{10}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{10}\, dx = \frac{x^{11}}{11}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5468750000000 x^{11}}{11}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 7109375000000 x^{9}\, dx = 7109375000000 \int x^{9}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

         Por lo tanto, el resultado es: $710937500000 x^{10}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 6825000000000 x^{8}\right)\, dx = - 6825000000000 \int x^{8}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2275000000000 x^{9}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 5005000000000 x^{7}\, dx = 5005000000000 \int x^{7}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $625625000000 x^{8}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 2860000000000 x^{6}\right)\, dx = - 2860000000000 \int x^{6}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2860000000000 x^{7}}{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 1287000000000 x^{5}\, dx = 1287000000000 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $214500000000 x^{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 457600000000 x^{4}\right)\, dx = - 457600000000 \int x^{4}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 91520000000 x^{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 128128000000 x^{3}\, dx = 128128000000 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $32032000000 x^{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 27955200000 x^{2}\right)\, dx = - 27955200000 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 9318400000 x^{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 4659200000 x\, dx = 4659200000 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2329600000 x^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \left(-573440000\right)\, dx = - 573440000 x$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{49152000}{x}\, dx = 49152000 \int \frac{1}{x}\, dx$

         1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $49152000 \log{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{2621440}{x^{2}}\right)\, dx = - 2621440 \int \frac{1}{x^{2}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2621440}{x}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{65536}{x^{3}}\, dx = 65536 \int \frac{1}{x^{3}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{3}}\, dx = - \frac{1}{2 x^{2}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{32768}{x^{2}}$

      El resultado es: $\frac{152587890625 x^{14}}{14} - \frac{976562500000 x^{13}}{13} + 244140625000 x^{12} - \frac{5468750000000 x^{11}}{11} + 710937500000 x^{10} - \frac{2275000000000 x^{9}}{3} + 625625000000 x^{8} - \frac{2860000000000 x^{7}}{7} + 214500000000 x^{6} - 91520000000 x^{5} + 32032000000 x^{4} - 9318400000 x^{3} + 2329600000 x^{2} - 573440000 x + 49152000 \log{\left(x \right)} + \frac{2621440}{x} - \frac{32768}{x^{2}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(5 x - 2\right)^{16}}{x^{3}} = \frac{152587890625 x^{16} - 976562500000 x^{15} + 2929687500000 x^{14} - 5468750000000 x^{13} + 7109375000000 x^{12} - 6825000000000 x^{11} + 5005000000000 x^{10} - 2860000000000 x^{9} + 1287000000000 x^{8} - 457600000000 x^{7} + 128128000000 x^{6} - 27955200000 x^{5} + 4659200000 x^{4} - 573440000 x^{3} + 49152000 x^{2} - 2621440 x + 65536}{x^{3}}$

   2. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{152587890625 x^{16} - 976562500000 x^{15} + 2929687500000 x^{14} - 5468750000000 x^{13} + 7109375000000 x^{12} - 6825000000000 x^{11} + 5005000000000 x^{10} - 2860000000000 x^{9} + 1287000000000 x^{8} - 457600000000 x^{7} + 128128000000 x^{6} - 27955200000 x^{5} + 4659200000 x^{4} - 573440000 x^{3} + 49152000 x^{2} - 2621440 x + 65536}{x^{3}} = 152587890625 x^{13} - 976562500000 x^{12} + 2929687500000 x^{11} - 5468750000000 x^{10} + 7109375000000 x^{9} - 6825000000000 x^{8} + 5005000000000 x^{7} - 2860000000000 x^{6} + 1287000000000 x^{5} - 457600000000 x^{4} + 128128000000 x^{3} - 27955200000 x^{2} + 4659200000 x - 573440000 + \frac{49152000}{x} - \frac{2621440}{x^{2}} + \frac{65536}{x^{3}}$

   3. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 152587890625 x^{13}\, dx = 152587890625 \int x^{13}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{13}\, dx = \frac{x^{14}}{14}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{152587890625 x^{14}}{14}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 976562500000 x^{12}\right)\, dx = - 976562500000 \int x^{12}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{12}\, dx = \frac{x^{13}}{13}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{976562500000 x^{13}}{13}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2929687500000 x^{11}\, dx = 2929687500000 \int x^{11}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

         Por lo tanto, el resultado es: $244140625000 x^{12}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 5468750000000 x^{10}\right)\, dx = - 5468750000000 \int x^{10}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{10}\, dx = \frac{x^{11}}{11}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5468750000000 x^{11}}{11}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 7109375000000 x^{9}\, dx = 7109375000000 \int x^{9}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

         Por lo tanto, el resultado es: $710937500000 x^{10}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 6825000000000 x^{8}\right)\, dx = - 6825000000000 \int x^{8}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2275000000000 x^{9}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 5005000000000 x^{7}\, dx = 5005000000000 \int x^{7}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $625625000000 x^{8}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 2860000000000 x^{6}\right)\, dx = - 2860000000000 \int x^{6}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2860000000000 x^{7}}{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 1287000000000 x^{5}\, dx = 1287000000000 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $214500000000 x^{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 457600000000 x^{4}\right)\, dx = - 457600000000 \int x^{4}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 91520000000 x^{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 128128000000 x^{3}\, dx = 128128000000 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $32032000000 x^{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 27955200000 x^{2}\right)\, dx = - 27955200000 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 9318400000 x^{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 4659200000 x\, dx = 4659200000 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2329600000 x^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \left(-573440000\right)\, dx = - 573440000 x$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{49152000}{x}\, dx = 49152000 \int \frac{1}{x}\, dx$

         1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $49152000 \log{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{2621440}{x^{2}}\right)\, dx = - 2621440 \int \frac{1}{x^{2}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2621440}{x}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{65536}{x^{3}}\, dx = 65536 \int \frac{1}{x^{3}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{3}}\, dx = - \frac{1}{2 x^{2}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{32768}{x^{2}}$

      El resultado es: $\frac{152587890625 x^{14}}{14} - \frac{976562500000 x^{13}}{13} + 244140625000 x^{12} - \frac{5468750000000 x^{11}}{11} + 710937500000 x^{10} - \frac{2275000000000 x^{9}}{3} + 625625000000 x^{8} - \frac{2860000000000 x^{7}}{7} + 214500000000 x^{6} - 91520000000 x^{5} + 32032000000 x^{4} - 9318400000 x^{3} + 2329600000 x^{2} - 573440000 x + 49152000 \log{\left(x \right)} + \frac{2621440}{x} - \frac{32768}{x^{2}}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\frac{x^{2} \left(65460205078125 x^{14} - 451171875000000 x^{13} + 1466308593750000 x^{12} - 2985937500000000 x^{11} + 4269890625000000 x^{10} - 4554550000000000 x^{9} + 3757503750000000 x^{8} - 2453880000000000 x^{7} + 1288287000000000 x^{6} - 549669120000000 x^{5} + 192384192000000 x^{4} - 55966310400000 x^{3} + 13991577600000 x^{2} - 3444080640000 x + 295206912000 \log{\left(x \right)}\right)}{6006} + 2621440 x - 32768}{x^{2}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\frac{x^{2} \left(65460205078125 x^{14} - 451171875000000 x^{13} + 1466308593750000 x^{12} - 2985937500000000 x^{11} + 4269890625000000 x^{10} - 4554550000000000 x^{9} + 3757503750000000 x^{8} - 2453880000000000 x^{7} + 1288287000000000 x^{6} - 549669120000000 x^{5} + 192384192000000 x^{4} - 55966310400000 x^{3} + 13991577600000 x^{2} - 3444080640000 x + 295206912000 \log{\left(x \right)}\right)}{6006} + 2621440 x - 32768}{x^{2}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\frac{x^{2} \left(65460205078125 x^{14} - 451171875000000 x^{13} + 1466308593750000 x^{12} - 2985937500000000 x^{11} + 4269890625000000 x^{10} - 4554550000000000 x^{9} + 3757503750000000 x^{8} - 2453880000000000 x^{7} + 1288287000000000 x^{6} - 549669120000000 x^{5} + 192384192000000 x^{4} - 55966310400000 x^{3} + 13991577600000 x^{2} - 3444080640000 x + 295206912000 \log{\left(x \right)}\right)}{6006} + 2621440 x - 32768}{x^{2}}+ \mathrm{constant}$