Integral de 1/x*(lnx)^2/5 dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \frac{\frac{1}{x} \log{\left(x \right)}^{2}}{5}\, dx = \frac{\int \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{x}\, dx}{5}$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = \frac{1}{x}$.

         Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{u}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{u}\, du$

            1. que $u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$.

               Luego que $du = - \frac{du}{u}$ y ponemos $- du$:

               $\int \left(- u^{2}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\log{\left(x \right)}^{3}}{3}$

      Método #2

      1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$:

         $\int u^{2}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\log{\left(x \right)}^{3}}{3}$

   Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(x \right)}^{3}}{15}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\log{\left(x \right)}^{3}}{15}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\log{\left(x \right)}^{3}}{15}+ \mathrm{constant}$