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Resolución de integrales/ (lnx)^2/ 1/x*(lnx)^2/5

Integral de 1/x*(lnx)^2/5 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 oo             
  /             
 |              
 |  /   2   \   
 |  |log (x)|   
 |  |-------|   
 |  \   x   /   
 |  --------- dx
 |      5       
 |              
/               
0
∫0∞1xlog⁡(x)25 dx\int\limits_{0}^{\infty} \frac{\frac{1}{x} \log{\left(x \right)}^{2}}{5}\, dx 
Integral((log(x)^2/x)/5, (x, 0, oo))
Solución detallada

  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    ∫1xlog⁡(x)25 dx=∫log⁡(x)2x dx5\int \frac{\frac{1}{x} \log{\left(x \right)}^{2}}{5}\, dx = \frac{\int \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{x}\, dx}{5}

    1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que u=1xu = \frac{1}{x}.

        Luego que du=−dxx2du = - \frac{dx}{x^{2}} y ponemos −du- du:

        ∫(−log⁡(1u)2u) du\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{u}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫log⁡(1u)2u du=−∫log⁡(1u)2u du\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{u}\, du

          1. que u=log⁡(1u)u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}.

            Luego que du=−duudu = - \frac{du}{u} y ponemos −du- du:

            ∫(−u2) du\int \left(- u^{2}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫u2 du=−∫u2 du\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

              Por lo tanto, el resultado es: −u33- \frac{u^{3}}{3}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −log⁡(1u)33- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: log⁡(1u)33\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{3}

        Si ahora sustituir uu más en:

        log⁡(x)33\frac{\log{\left(x \right)}^{3}}{3}

      Método #2

      1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

        Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

        ∫u2 du\int u^{2}\, du

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

        Si ahora sustituir uu más en:

        log⁡(x)33\frac{\log{\left(x \right)}^{3}}{3}

    Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x)315\frac{\log{\left(x \right)}^{3}}{15}

  2. Añadimos la constante de integración:

    log⁡(x)315+constant\frac{\log{\left(x \right)}^{3}}{15}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

log⁡(x)315+constant\frac{\log{\left(x \right)}^{3}}{15}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                          
 |                           
 | /   2   \                 
 | |log (x)|                 
 | |-------|             3   
 | \   x   /          log (x)
 | --------- dx = C + -------
 |     5                 15  
 |                           
/
∫1xlog⁡(x)25 dx=C+log⁡(x)315\int \frac{\frac{1}{x} \log{\left(x \right)}^{2}}{5}\, dx = C + \frac{\log{\left(x \right)}^{3}}{15}
Simplificar
Respuesta [src] 
oo
∞\infty 
=
= 
oo
∞\infty 
oo

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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