Integral de (3-x)/((sqrt(16+6*x-x)*2)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = - x$.

      Luego que $du = - dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

      $\int \left(- \frac{u + 3}{2 \sqrt{16 - 5 u}}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{u + 3}{\sqrt{16 - 5 u}}\, du = - \frac{\int \frac{u + 3}{\sqrt{16 - 5 u}}\, du}{2}$

         1. que $u = \frac{1}{\sqrt{16 - 5 u}}$.

            Luego que $du = \frac{5 du}{2 \left(16 - 5 u\right)^{\frac{3}{2}}}$ y ponemos $du$:

            $\int \left(- 2 \left(\frac{16}{5} - \frac{1}{5 u^{2}}\right)^{2} + \frac{512}{25} - \frac{2}{25 u^{2}}\right)\, du$

            1. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- 2 \left(\frac{16}{5} - \frac{1}{5 u^{2}}\right)^{2}\right)\, du = - 2 \int \left(\frac{16}{5} - \frac{1}{5 u^{2}}\right)^{2}\, du$

                  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

                     Método #1

                     1. Vuelva a escribir el integrando:

                        $\left(\frac{16}{5} - \frac{1}{5 u^{2}}\right)^{2} = \frac{256}{25} - \frac{32}{25 u^{2}} + \frac{1}{25 u^{4}}$

                     2. Integramos término a término:

                        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                           $\int \frac{256}{25}\, du = \frac{256 u}{25}$

                        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                           $\int \left(- \frac{32}{25 u^{2}}\right)\, du = - \frac{32 \int \frac{1}{u^{2}}\, du}{25}$

                           1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                              $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

                           Por lo tanto, el resultado es: $\frac{32}{25 u}$

                        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                           $\int \frac{1}{25 u^{4}}\, du = \frac{\int \frac{1}{u^{4}}\, du}{25}$

                           1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                              $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

                           Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{75 u^{3}}$

                        El resultado es: $\frac{256 u}{25} + \frac{32}{25 u} - \frac{1}{75 u^{3}}$

                     Método #2

                     1. Vuelva a escribir el integrando:

                        $\left(\frac{16}{5} - \frac{1}{5 u^{2}}\right)^{2} = \frac{256 u^{4} - 32 u^{2} + 1}{25 u^{4}}$

                     2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \frac{256 u^{4} - 32 u^{2} + 1}{25 u^{4}}\, du = \frac{\int \frac{256 u^{4} - 32 u^{2} + 1}{u^{4}}\, du}{25}$

                        1. Vuelva a escribir el integrando:

                           $\frac{256 u^{4} - 32 u^{2} + 1}{u^{4}} = 256 - \frac{32}{u^{2}} + \frac{1}{u^{4}}$

                        2. Integramos término a término:

                           1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                              $\int 256\, du = 256 u$

                           1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                              $\int \left(- \frac{32}{u^{2}}\right)\, du = - 32 \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

                              1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                                 $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

                              Por lo tanto, el resultado es: $\frac{32}{u}$

                           1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                              $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

                           El resultado es: $256 u + \frac{32}{u} - \frac{1}{3 u^{3}}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{256 u}{25} + \frac{32}{25 u} - \frac{1}{75 u^{3}}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{512 u}{25} - \frac{64}{25 u} + \frac{2}{75 u^{3}}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int \frac{512}{25}\, du = \frac{512 u}{25}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{2}{25 u^{2}}\right)\, du = - \frac{2 \int \frac{1}{u^{2}}\, du}{25}$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2}{25 u}$

               El resultado es: $- \frac{62}{25 u} + \frac{2}{75 u^{3}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{2 \left(16 - 5 u\right)^{\frac{3}{2}}}{75} - \frac{62 \sqrt{16 - 5 u}}{25}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\left(16 - 5 u\right)^{\frac{3}{2}}}{75} + \frac{31 \sqrt{16 - 5 u}}{25}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\left(5 x + 16\right)^{\frac{3}{2}}}{75} + \frac{31 \sqrt{5 x + 16}}{25}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{3 - x}{2 \sqrt{- x + \left(6 x + 16\right)}} = - \frac{x - 3}{2 \sqrt{5 x + 16}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{x - 3}{2 \sqrt{5 x + 16}}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{x - 3}{\sqrt{5 x + 16}}\, dx}{2}$

      1. que $u = \frac{1}{\sqrt{5 x + 16}}$.

         Luego que $du = - \frac{5 dx}{2 \left(5 x + 16\right)^{\frac{3}{2}}}$ y ponemos $du$:

         $\int \left(- 2 \left(- \frac{16}{5} + \frac{1}{5 u^{2}}\right)^{2} + \frac{512}{25} - \frac{2}{25 u^{2}}\right)\, du$

         1. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 2 \left(- \frac{16}{5} + \frac{1}{5 u^{2}}\right)^{2}\right)\, du = - 2 \int \left(- \frac{16}{5} + \frac{1}{5 u^{2}}\right)^{2}\, du$

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\left(- \frac{16}{5} + \frac{1}{5 u^{2}}\right)^{2} = \frac{256}{25} - \frac{32}{25 u^{2}} + \frac{1}{25 u^{4}}$

               2. Integramos término a término:

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int \frac{256}{25}\, du = \frac{256 u}{25}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \left(- \frac{32}{25 u^{2}}\right)\, du = - \frac{32 \int \frac{1}{u^{2}}\, du}{25}$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{32}{25 u}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{1}{25 u^{4}}\, du = \frac{\int \frac{1}{u^{4}}\, du}{25}$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{75 u^{3}}$

                  El resultado es: $\frac{256 u}{25} + \frac{32}{25 u} - \frac{1}{75 u^{3}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{512 u}{25} - \frac{64}{25 u} + \frac{2}{75 u^{3}}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \frac{512}{25}\, du = \frac{512 u}{25}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{2}{25 u^{2}}\right)\, du = - \frac{2 \int \frac{1}{u^{2}}\, du}{25}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2}{25 u}$

            El resultado es: $- \frac{62}{25 u} + \frac{2}{75 u^{3}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{2 \left(5 x + 16\right)^{\frac{3}{2}}}{75} - \frac{62 \sqrt{5 x + 16}}{25}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\left(5 x + 16\right)^{\frac{3}{2}}}{75} + \frac{31 \sqrt{5 x + 16}}{25}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{3 - x}{2 \sqrt{- x + \left(6 x + 16\right)}} = - \frac{x}{2 \sqrt{- x + \left(6 x + 16\right)}} + \frac{3}{2 \sqrt{- x + \left(6 x + 16\right)}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{x}{2 \sqrt{- x + \left(6 x + 16\right)}}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{x}{\sqrt{- x + \left(6 x + 16\right)}}\, dx}{2}$

         1. que $u = \frac{1}{\sqrt{- x + \left(6 x + 16\right)}}$.

            Luego que $du = - \frac{5 dx}{2 \left(- x + \left(6 x + 16\right)\right)^{\frac{3}{2}}}$ y ponemos $du$:

            $\int \left(- 2 \left(- \frac{16}{5} + \frac{1}{5 u^{2}}\right)^{2} + \frac{512}{25} - \frac{32}{25 u^{2}}\right)\, du$

            1. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- 2 \left(- \frac{16}{5} + \frac{1}{5 u^{2}}\right)^{2}\right)\, du = - 2 \int \left(- \frac{16}{5} + \frac{1}{5 u^{2}}\right)^{2}\, du$

                  1. Vuelva a escribir el integrando:

                     $\left(- \frac{16}{5} + \frac{1}{5 u^{2}}\right)^{2} = \frac{256}{25} - \frac{32}{25 u^{2}} + \frac{1}{25 u^{4}}$

                  2. Integramos término a término:

                     1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                        $\int \frac{256}{25}\, du = \frac{256 u}{25}$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \left(- \frac{32}{25 u^{2}}\right)\, du = - \frac{32 \int \frac{1}{u^{2}}\, du}{25}$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{32}{25 u}$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \frac{1}{25 u^{4}}\, du = \frac{\int \frac{1}{u^{4}}\, du}{25}$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{75 u^{3}}$

                     El resultado es: $\frac{256 u}{25} + \frac{32}{25 u} - \frac{1}{75 u^{3}}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{512 u}{25} - \frac{64}{25 u} + \frac{2}{75 u^{3}}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int \frac{512}{25}\, du = \frac{512 u}{25}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{32}{25 u^{2}}\right)\, du = - \frac{32 \int \frac{1}{u^{2}}\, du}{25}$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{32}{25 u}$

               El resultado es: $- \frac{32}{25 u} + \frac{2}{75 u^{3}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{2 \left(- x + \left(6 x + 16\right)\right)^{\frac{3}{2}}}{75} - \frac{32 \sqrt{- x + \left(6 x + 16\right)}}{25}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\left(- x + \left(6 x + 16\right)\right)^{\frac{3}{2}}}{75} + \frac{16 \sqrt{- x + \left(6 x + 16\right)}}{25}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{3}{2 \sqrt{- x + \left(6 x + 16\right)}}\, dx = \frac{3 \int \frac{1}{\sqrt{- x + \left(6 x + 16\right)}}\, dx}{2}$

         1. que $u = - x + \left(6 x + 16\right)$.

            Luego que $du = 5 dx$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

            $\int \frac{1}{5 \sqrt{u}}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{5}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \sqrt{u}}{5}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{2 \sqrt{- x + \left(6 x + 16\right)}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 \sqrt{- x + \left(6 x + 16\right)}}{5}$

      El resultado es: $- \frac{\left(- x + \left(6 x + 16\right)\right)^{\frac{3}{2}}}{75} + \frac{31 \sqrt{- x + \left(6 x + 16\right)}}{25}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(77 - 5 x\right) \sqrt{5 x + 16}}{75}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(77 - 5 x\right) \sqrt{5 x + 16}}{75}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(77 - 5 x\right) \sqrt{5 x + 16}}{75}+ \mathrm{constant}$