Integral de (3*x^2+1)/sqrt(x^3) dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\frac{3 x^{2} + 1}{\sqrt{x^{3}}} = \frac{3 x^{2}}{\sqrt{x^{3}}} + \frac{1}{\sqrt{x^{3}}}$

2. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{3 x^{2}}{\sqrt{x^{3}}}\, dx = 3 \int \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{3}}}\, dx$

      1. que $u = x^{3}$.

         Luego que $du = 3 x^{2} dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

         $\int \frac{1}{3 \sqrt{u}}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{3}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \sqrt{u}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{2 \sqrt{x^{3}}}{3}$

      Por lo tanto, el resultado es: $2 \sqrt{x^{3}}$

   1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

      Pero la integral

      $- \frac{2 x}{\sqrt{x^{3}}}$

   El resultado es: $- \frac{2 x}{\sqrt{x^{3}}} + 2 \sqrt{x^{3}}$

3. Ahora simplificar:

   $\frac{2 x \left(x^{2} - 1\right)}{\sqrt{x^{3}}}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2 x \left(x^{2} - 1\right)}{\sqrt{x^{3}}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2 x \left(x^{2} - 1\right)}{\sqrt{x^{3}}}+ \mathrm{constant}$