Integral de ln(cos(x))+(2x+1)^(3) dx

1. Integramos término a término:

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = 2 x + 1$.

         Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{u^{3}}{2}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u^{3}\, du = \frac{\int u^{3}\, du}{2}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{4}}{8}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\left(2 x + 1\right)^{4}}{8}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(2 x + 1\right)^{3} = 8 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x + 1$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 8 x^{3}\, dx = 8 \int x^{3}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $2 x^{4}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 12 x^{2}\, dx = 12 \int x^{2}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $4 x^{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 6 x\, dx = 6 \int x\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $3 x^{2}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, dx = x$

         El resultado es: $2 x^{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2} + x$

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, dx = x$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{x \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}\right)\, dx = - \int \frac{x \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}\, dx$

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

         Pero la integral

         $\int \frac{x \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}\, dx$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \int \frac{x \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}\, dx$

   El resultado es: $x \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + \frac{\left(2 x + 1\right)^{4}}{8} + \int \frac{x \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}\, dx$

2. Ahora simplificar:

   $x \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + \frac{\left(2 x + 1\right)^{4}}{8} + \int x \tan{\left(x \right)}\, dx$

3. Añadimos la constante de integración:

   $x \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + \frac{\left(2 x + 1\right)^{4}}{8} + \int x \tan{\left(x \right)}\, dx+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + \frac{\left(2 x + 1\right)^{4}}{8} + \int x \tan{\left(x \right)}\, dx+ \mathrm{constant}$