Integral de log(x^(2a)+1) dx

1. Usamos la integración por partes:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x^{2 a} + 1 \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

   Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{2 a x^{2 a}}{x \left(x^{2 a} + 1\right)}$.

   Para buscar $v{\left(x \right)}$:

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int 1\, dx = x$

   Ahora resolvemos podintegral.

2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \frac{2 a x^{2 a}}{x^{2 a} + 1}\, dx = 2 a \int \frac{x^{2 a}}{x^{2 a} + 1}\, dx$

   1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

      Pero la integral

      $- \frac{x \Phi\left(x^{- 2 a} e^{i \pi}, 1, \frac{e^{i \pi}}{2 a}\right) \Gamma\left(\frac{1}{2 a}\right)}{4 a^{2} \Gamma\left(1 + \frac{1}{2 a}\right)}$

   Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x \Phi\left(x^{- 2 a} e^{i \pi}, 1, \frac{e^{i \pi}}{2 a}\right) \Gamma\left(\frac{1}{2 a}\right)}{2 a \Gamma\left(1 + \frac{1}{2 a}\right)}$

3. Ahora simplificar:

   $x \left(\Phi\left(x^{- 2 a} e^{i \pi}, 1, \frac{e^{i \pi}}{2 a}\right) + \log{\left(x^{2 a} + 1 \right)}\right)$

4. Añadimos la constante de integración:

   $x \left(\Phi\left(x^{- 2 a} e^{i \pi}, 1, \frac{e^{i \pi}}{2 a}\right) + \log{\left(x^{2 a} + 1 \right)}\right)+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x \left(\Phi\left(x^{- 2 a} e^{i \pi}, 1, \frac{e^{i \pi}}{2 a}\right) + \log{\left(x^{2 a} + 1 \right)}\right)+ \mathrm{constant}$