Integral de e^x*sin(2x) dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int 2 e^{x} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int e^{x} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. La integral de la función exponencial es la mesma.

         $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(- \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) e^{x} = - e^{x} \sin^{2}{\left(x \right)} + e^{x} \cos^{2}{\left(x \right)}$

   3. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- e^{x} \sin^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int e^{x} \sin^{2}{\left(x \right)}\, dx$

         1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

            Pero la integral

            $\frac{3 e^{x} \sin^{2}{\left(x \right)}}{5} - \frac{2 e^{x} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{5} + \frac{2 e^{x} \cos^{2}{\left(x \right)}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 e^{x} \sin^{2}{\left(x \right)}}{5} + \frac{2 e^{x} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{5} - \frac{2 e^{x} \cos^{2}{\left(x \right)}}{5}$

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

         Pero la integral

         $\frac{2 e^{x} \sin^{2}{\left(x \right)}}{5} + \frac{2 e^{x} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{5} + \frac{3 e^{x} \cos^{2}{\left(x \right)}}{5}$

      El resultado es: $- \frac{e^{x} \sin^{2}{\left(x \right)}}{5} + \frac{4 e^{x} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{5} + \frac{e^{x} \cos^{2}{\left(x \right)}}{5}$

   Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 e^{x} \sin^{2}{\left(x \right)}}{5} + \frac{2 e^{x} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{5} - \frac{2 e^{x} \cos^{2}{\left(x \right)}}{5}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(\sin{\left(2 x \right)} - 2 \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{x}}{5}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(\sin{\left(2 x \right)} - 2 \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{x}}{5}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(\sin{\left(2 x \right)} - 2 \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{x}}{5}+ \mathrm{constant}$