Integral de e^x*y*sin(y) dy

1. Usamos la integración por partes:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   que $u{\left(y \right)} = y e^{x}$ y que $\operatorname{dv}{\left(y \right)} = \sin{\left(y \right)}$.

   Entonces $\operatorname{du}{\left(y \right)} = e^{x}$.

   Para buscar $v{\left(y \right)}$:

   1. La integral del seno es un coseno menos:

      $\int \sin{\left(y \right)}\, dy = - \cos{\left(y \right)}$

   Ahora resolvemos podintegral.

2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \left(- e^{x} \cos{\left(y \right)}\right)\, dy = - e^{x} \int \cos{\left(y \right)}\, dy$

   1. La integral del coseno es seno:

      $\int \cos{\left(y \right)}\, dy = \sin{\left(y \right)}$

   Por lo tanto, el resultado es: $- e^{x} \sin{\left(y \right)}$

3. Ahora simplificar:

   $\left(- y \cos{\left(y \right)} + \sin{\left(y \right)}\right) e^{x}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $\left(- y \cos{\left(y \right)} + \sin{\left(y \right)}\right) e^{x}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\left(- y \cos{\left(y \right)} + \sin{\left(y \right)}\right) e^{x}+ \mathrm{constant}$