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Resolución de integrales/ (x+1)/ dx/(x(x+1)^3)

Integral de dx/(x(x+1)^3) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  2              
  /              
 |               
 |      1        
 |  ---------- dx
 |           3   
 |  x*(x + 1)    
 |               
/                
1
∫121x(x+1)3 dx\int\limits_{1}^{2} \frac{1}{x \left(x + 1\right)^{3}}\, dx 
Integral(1/(x*(x + 1)^3), (x, 1, 2))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      1x(x+1)3=−1x+1−1(x+1)2−1(x+1)3+1x\frac{1}{x \left(x + 1\right)^{3}} = - \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{1}{\left(x + 1\right)^{3}} + \frac{1}{x}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−1x+1) dx=−∫1x+1 dx\int \left(- \frac{1}{x + 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x + 1}\, dx

        1. que u=x+1u = x + 1.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x+1)- \log{\left(x + 1 \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−1(x+1)2) dx=−∫1(x+1)2 dx\int \left(- \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}\, dx

        1. que u=x+1u = x + 1.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u2 du\int \frac{1}{u^{2}}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −1x+1- \frac{1}{x + 1}

        Por lo tanto, el resultado es: 1x+1\frac{1}{x + 1}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−1(x+1)3) dx=−∫1(x+1)3 dx\int \left(- \frac{1}{\left(x + 1\right)^{3}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{\left(x + 1\right)^{3}}\, dx

        1. que u=x+1u = x + 1.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u3 du\int \frac{1}{u^{3}}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫1u3 du=−12u2\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −12(x+1)2- \frac{1}{2 \left(x + 1\right)^{2}}

        Por lo tanto, el resultado es: 12(x+1)2\frac{1}{2 \left(x + 1\right)^{2}}

      1. Integral 1x\frac{1}{x} es log⁡(x)\log{\left(x \right)}.

      El resultado es: log⁡(x)−log⁡(x+1)+1x+1+12(x+1)2\log{\left(x \right)} - \log{\left(x + 1 \right)} + \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{2 \left(x + 1\right)^{2}}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      1x(x+1)3=1x4+3x3+3x2+x\frac{1}{x \left(x + 1\right)^{3}} = \frac{1}{x^{4} + 3 x^{3} + 3 x^{2} + x}

    2. Vuelva a escribir el integrando:

      1x4+3x3+3x2+x=−1x+1−1(x+1)2−1(x+1)3+1x\frac{1}{x^{4} + 3 x^{3} + 3 x^{2} + x} = - \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{1}{\left(x + 1\right)^{3}} + \frac{1}{x}

    3. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−1x+1) dx=−∫1x+1 dx\int \left(- \frac{1}{x + 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x + 1}\, dx

        1. que u=x+1u = x + 1.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x+1)- \log{\left(x + 1 \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−1(x+1)2) dx=−∫1(x+1)2 dx\int \left(- \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}\, dx

        1. que u=x+1u = x + 1.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u2 du\int \frac{1}{u^{2}}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −1x+1- \frac{1}{x + 1}

        Por lo tanto, el resultado es: 1x+1\frac{1}{x + 1}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−1(x+1)3) dx=−∫1(x+1)3 dx\int \left(- \frac{1}{\left(x + 1\right)^{3}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{\left(x + 1\right)^{3}}\, dx

        1. que u=x+1u = x + 1.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u3 du\int \frac{1}{u^{3}}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫1u3 du=−12u2\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −12(x+1)2- \frac{1}{2 \left(x + 1\right)^{2}}

        Por lo tanto, el resultado es: 12(x+1)2\frac{1}{2 \left(x + 1\right)^{2}}

      1. Integral 1x\frac{1}{x} es log⁡(x)\log{\left(x \right)}.

      El resultado es: log⁡(x)−log⁡(x+1)+1x+1+12(x+1)2\log{\left(x \right)} - \log{\left(x + 1 \right)} + \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{2 \left(x + 1\right)^{2}}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      1x(x+1)3=1x4+3x3+3x2+x\frac{1}{x \left(x + 1\right)^{3}} = \frac{1}{x^{4} + 3 x^{3} + 3 x^{2} + x}

    2. Vuelva a escribir el integrando:

      1x4+3x3+3x2+x=−1x+1−1(x+1)2−1(x+1)3+1x\frac{1}{x^{4} + 3 x^{3} + 3 x^{2} + x} = - \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{1}{\left(x + 1\right)^{3}} + \frac{1}{x}

    3. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−1x+1) dx=−∫1x+1 dx\int \left(- \frac{1}{x + 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x + 1}\, dx

        1. que u=x+1u = x + 1.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x+1)- \log{\left(x + 1 \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−1(x+1)2) dx=−∫1(x+1)2 dx\int \left(- \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}\, dx

        1. que u=x+1u = x + 1.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u2 du\int \frac{1}{u^{2}}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −1x+1- \frac{1}{x + 1}

        Por lo tanto, el resultado es: 1x+1\frac{1}{x + 1}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−1(x+1)3) dx=−∫1(x+1)3 dx\int \left(- \frac{1}{\left(x + 1\right)^{3}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{\left(x + 1\right)^{3}}\, dx

        1. que u=x+1u = x + 1.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u3 du\int \frac{1}{u^{3}}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫1u3 du=−12u2\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −12(x+1)2- \frac{1}{2 \left(x + 1\right)^{2}}

        Por lo tanto, el resultado es: 12(x+1)2\frac{1}{2 \left(x + 1\right)^{2}}

      1. Integral 1x\frac{1}{x} es log⁡(x)\log{\left(x \right)}.

      El resultado es: log⁡(x)−log⁡(x+1)+1x+1+12(x+1)2\log{\left(x \right)} - \log{\left(x + 1 \right)} + \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{2 \left(x + 1\right)^{2}}

  2. Ahora simplificar:

    x2(x+1)3+log⁡(x)−log⁡(x+1)+1x+1+12(x+1)3\frac{x}{2 \left(x + 1\right)^{3}} + \log{\left(x \right)} - \log{\left(x + 1 \right)} + \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{2 \left(x + 1\right)^{3}}

  3. Añadimos la constante de integración:

    x2(x+1)3+log⁡(x)−log⁡(x+1)+1x+1+12(x+1)3+constant\frac{x}{2 \left(x + 1\right)^{3}} + \log{\left(x \right)} - \log{\left(x + 1 \right)} + \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{2 \left(x + 1\right)^{3}}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x2(x+1)3+log⁡(x)−log⁡(x+1)+1x+1+12(x+1)3+constant\frac{x}{2 \left(x + 1\right)^{3}} + \log{\left(x \right)} - \log{\left(x + 1 \right)} + \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{2 \left(x + 1\right)^{3}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                            
 |                                                             
 |     1                 1         1                           
 | ---------- dx = C + ----- + ---------- - log(1 + x) + log(x)
 |          3          1 + x            2                      
 | x*(x + 1)                   2*(1 + x)                       
 |                                                             
/
∫1x(x+1)3 dx=C+log⁡(x)−log⁡(x+1)+1x+1+12(x+1)2\int \frac{1}{x \left(x + 1\right)^{3}}\, dx = C + \log{\left(x \right)} - \log{\left(x + 1 \right)} + \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{2 \left(x + 1\right)^{2}}
Simplificar
Gráfica
1.002.001.101.201.301.401.501.601.701.801.900.2-0.2
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
  17                    
- -- - log(3) + 2*log(2)
  72
−log⁡(3)−1772+2log⁡(2)- \log{\left(3 \right)} - \frac{17}{72} + 2 \log{\left(2 \right)} 
=
= 
  17                    
- -- - log(3) + 2*log(2)
  72
−log⁡(3)−1772+2log⁡(2)- \log{\left(3 \right)} - \frac{17}{72} + 2 \log{\left(2 \right)} 
-17/72 - log(3) + 2*log(2)
Respuesta numérica [src] 
0.0515709613406698
0.0515709613406698

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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