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Resolución de integrales/ sin(5x)/ cos(4x)/ cos(4x)*sin(5x)

Integral de cos(4x)*sin(5x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 pi                     
  /                     
 |                      
 |  cos(4*x)*sin(5*x) dx
 |                      
/                       
0
∫0πsin⁡(5x)cos⁡(4x) dx\int\limits_{0}^{\pi} \sin{\left(5 x \right)} \cos{\left(4 x \right)}\, dx 
Integral(cos(4*x)*sin(5*x), (x, 0, pi))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    sin⁡(5x)cos⁡(4x)=128sin⁡5(x)cos⁡4(x)−128sin⁡5(x)cos⁡2(x)+16sin⁡5(x)−160sin⁡3(x)cos⁡4(x)+160sin⁡3(x)cos⁡2(x)−20sin⁡3(x)+40sin⁡(x)cos⁡4(x)−40sin⁡(x)cos⁡2(x)+5sin⁡(x)\sin{\left(5 x \right)} \cos{\left(4 x \right)} = 128 \sin^{5}{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} - 128 \sin^{5}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + 16 \sin^{5}{\left(x \right)} - 160 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} + 160 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} - 20 \sin^{3}{\left(x \right)} + 40 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} - 40 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + 5 \sin{\left(x \right)}

  2. Integramos término a término:

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫128sin⁡5(x)cos⁡4(x) dx=128∫sin⁡5(x)cos⁡4(x) dx\int 128 \sin^{5}{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx = 128 \int \sin^{5}{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        sin⁡5(x)cos⁡4(x)=(1−cos⁡2(x))2sin⁡(x)cos⁡4(x)\sin^{5}{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}

      2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

        Método #1

        1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

          Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫(−u8+2u6−u4) du\int \left(- u^{8} + 2 u^{6} - u^{4}\right)\, du

          1. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−u8) du=−∫u8 du\int \left(- u^{8}\right)\, du = - \int u^{8}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u8 du=u99\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}

              Por lo tanto, el resultado es: −u99- \frac{u^{9}}{9}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫2u6 du=2∫u6 du\int 2 u^{6}\, du = 2 \int u^{6}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u6 du=u77\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}

              Por lo tanto, el resultado es: 2u77\frac{2 u^{7}}{7}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−u4) du=−∫u4 du\int \left(- u^{4}\right)\, du = - \int u^{4}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

              Por lo tanto, el resultado es: −u55- \frac{u^{5}}{5}

            El resultado es: −u99+2u77−u55- \frac{u^{9}}{9} + \frac{2 u^{7}}{7} - \frac{u^{5}}{5}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡9(x)9+2cos⁡7(x)7−cos⁡5(x)5- \frac{\cos^{9}{\left(x \right)}}{9} + \frac{2 \cos^{7}{\left(x \right)}}{7} - \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}

        Método #2

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          (1−cos⁡2(x))2sin⁡(x)cos⁡4(x)=sin⁡(x)cos⁡8(x)−2sin⁡(x)cos⁡6(x)+sin⁡(x)cos⁡4(x)\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} \cos^{8}{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}

        2. Integramos término a término:

          1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

            Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

            ∫(−u8) du\int \left(- u^{8}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫u8 du=−∫u8 du\int u^{8}\, du = - \int u^{8}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u8 du=u99\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}

              Por lo tanto, el resultado es: −u99- \frac{u^{9}}{9}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡9(x)9- \frac{\cos^{9}{\left(x \right)}}{9}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−2sin⁡(x)cos⁡6(x)) dx=−2∫sin⁡(x)cos⁡6(x) dx\int \left(- 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\, dx

            1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

              Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

              ∫(−u6) du\int \left(- u^{6}\right)\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫u6 du=−∫u6 du\int u^{6}\, du = - \int u^{6}\, du

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u6 du=u77\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}

                Por lo tanto, el resultado es: −u77- \frac{u^{7}}{7}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −cos⁡7(x)7- \frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7}

            Por lo tanto, el resultado es: 2cos⁡7(x)7\frac{2 \cos^{7}{\left(x \right)}}{7}

          1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

            Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

            ∫(−u4) du\int \left(- u^{4}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫u4 du=−∫u4 du\int u^{4}\, du = - \int u^{4}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

              Por lo tanto, el resultado es: −u55- \frac{u^{5}}{5}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡5(x)5- \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}

          El resultado es: −cos⁡9(x)9+2cos⁡7(x)7−cos⁡5(x)5- \frac{\cos^{9}{\left(x \right)}}{9} + \frac{2 \cos^{7}{\left(x \right)}}{7} - \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}

        Método #3

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          (1−cos⁡2(x))2sin⁡(x)cos⁡4(x)=sin⁡(x)cos⁡8(x)−2sin⁡(x)cos⁡6(x)+sin⁡(x)cos⁡4(x)\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} \cos^{8}{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}

        2. Integramos término a término:

          1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

            Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

            ∫(−u8) du\int \left(- u^{8}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫u8 du=−∫u8 du\int u^{8}\, du = - \int u^{8}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u8 du=u99\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}

              Por lo tanto, el resultado es: −u99- \frac{u^{9}}{9}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡9(x)9- \frac{\cos^{9}{\left(x \right)}}{9}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−2sin⁡(x)cos⁡6(x)) dx=−2∫sin⁡(x)cos⁡6(x) dx\int \left(- 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\, dx

            1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

              Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

              ∫(−u6) du\int \left(- u^{6}\right)\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫u6 du=−∫u6 du\int u^{6}\, du = - \int u^{6}\, du

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u6 du=u77\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}

                Por lo tanto, el resultado es: −u77- \frac{u^{7}}{7}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −cos⁡7(x)7- \frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7}

            Por lo tanto, el resultado es: 2cos⁡7(x)7\frac{2 \cos^{7}{\left(x \right)}}{7}

          1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

            Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

            ∫(−u4) du\int \left(- u^{4}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫u4 du=−∫u4 du\int u^{4}\, du = - \int u^{4}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

              Por lo tanto, el resultado es: −u55- \frac{u^{5}}{5}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡5(x)5- \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}

          El resultado es: −cos⁡9(x)9+2cos⁡7(x)7−cos⁡5(x)5- \frac{\cos^{9}{\left(x \right)}}{9} + \frac{2 \cos^{7}{\left(x \right)}}{7} - \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}

      Por lo tanto, el resultado es: −128cos⁡9(x)9+256cos⁡7(x)7−128cos⁡5(x)5- \frac{128 \cos^{9}{\left(x \right)}}{9} + \frac{256 \cos^{7}{\left(x \right)}}{7} - \frac{128 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−128sin⁡5(x)cos⁡2(x)) dx=−128∫sin⁡5(x)cos⁡2(x) dx\int \left(- 128 \sin^{5}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 128 \int \sin^{5}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        sin⁡5(x)cos⁡2(x)=(1−cos⁡2(x))2sin⁡(x)cos⁡2(x)\sin^{5}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}

      2. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

        Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

        ∫(−u6+2u4−u2) du\int \left(- u^{6} + 2 u^{4} - u^{2}\right)\, du

        1. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−u6) du=−∫u6 du\int \left(- u^{6}\right)\, du = - \int u^{6}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u6 du=u77\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}

            Por lo tanto, el resultado es: −u77- \frac{u^{7}}{7}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫2u4 du=2∫u4 du\int 2 u^{4}\, du = 2 \int u^{4}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

            Por lo tanto, el resultado es: 2u55\frac{2 u^{5}}{5}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−u2) du=−∫u2 du\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: −u33- \frac{u^{3}}{3}

          El resultado es: −u77+2u55−u33- \frac{u^{7}}{7} + \frac{2 u^{5}}{5} - \frac{u^{3}}{3}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cos⁡7(x)7+2cos⁡5(x)5−cos⁡3(x)3- \frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{2 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

      Por lo tanto, el resultado es: 128cos⁡7(x)7−256cos⁡5(x)5+128cos⁡3(x)3\frac{128 \cos^{7}{\left(x \right)}}{7} - \frac{256 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} + \frac{128 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫16sin⁡5(x) dx=16∫sin⁡5(x) dx\int 16 \sin^{5}{\left(x \right)}\, dx = 16 \int \sin^{5}{\left(x \right)}\, dx

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        sin⁡5(x)=(1−cos⁡2(x))2sin⁡(x)\sin^{5}{\left(x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \sin{\left(x \right)}

      2. Vuelva a escribir el integrando:

        (1−cos⁡2(x))2sin⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡4(x)−2sin⁡(x)cos⁡2(x)+sin⁡(x)\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \sin{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}

      3. Integramos término a término:

        1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

          Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

          ∫(−u4) du\int \left(- u^{4}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u4 du=−∫u4 du\int u^{4}\, du = - \int u^{4}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

            Por lo tanto, el resultado es: −u55- \frac{u^{5}}{5}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡5(x)5- \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−2sin⁡(x)cos⁡2(x)) dx=−2∫sin⁡(x)cos⁡2(x) dx\int \left(- 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

          1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

            Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

            ∫(−u2) du\int \left(- u^{2}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫u2 du=−∫u2 du\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

              Por lo tanto, el resultado es: −u33- \frac{u^{3}}{3}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡3(x)3- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: 2cos⁡3(x)3\frac{2 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

        1. La integral del seno es un coseno menos:

          ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

        El resultado es: −cos⁡5(x)5+2cos⁡3(x)3−cos⁡(x)- \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5} + \frac{2 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cos{\left(x \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: −16cos⁡5(x)5+32cos⁡3(x)3−16cos⁡(x)- \frac{16 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} + \frac{32 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - 16 \cos{\left(x \right)}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−160sin⁡3(x)cos⁡4(x)) dx=−160∫sin⁡3(x)cos⁡4(x) dx\int \left(- 160 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 160 \int \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        sin⁡3(x)cos⁡4(x)=(1−cos⁡2(x))sin⁡(x)cos⁡4(x)\sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}

      2. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

        Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

        ∫(u6−u4) du\int \left(u^{6} - u^{4}\right)\, du

        1. Integramos término a término:

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u6 du=u77\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−u4) du=−∫u4 du\int \left(- u^{4}\right)\, du = - \int u^{4}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

            Por lo tanto, el resultado es: −u55- \frac{u^{5}}{5}

          El resultado es: u77−u55\frac{u^{7}}{7} - \frac{u^{5}}{5}

        Si ahora sustituir uu más en:

        cos⁡7(x)7−cos⁡5(x)5\frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7} - \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}

      Por lo tanto, el resultado es: −160cos⁡7(x)7+32cos⁡5(x)- \frac{160 \cos^{7}{\left(x \right)}}{7} + 32 \cos^{5}{\left(x \right)}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫160sin⁡3(x)cos⁡2(x) dx=160∫sin⁡3(x)cos⁡2(x) dx\int 160 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 160 \int \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        sin⁡3(x)cos⁡2(x)=(1−cos⁡2(x))sin⁡(x)cos⁡2(x)\sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}

      2. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

        Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

        ∫(u4−u2) du\int \left(u^{4} - u^{2}\right)\, du

        1. Integramos término a término:

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−u2) du=−∫u2 du\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: −u33- \frac{u^{3}}{3}

          El resultado es: u55−u33\frac{u^{5}}{5} - \frac{u^{3}}{3}

        Si ahora sustituir uu más en:

        cos⁡5(x)5−cos⁡3(x)3\frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

      Por lo tanto, el resultado es: 32cos⁡5(x)−160cos⁡3(x)332 \cos^{5}{\left(x \right)} - \frac{160 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−20sin⁡3(x)) dx=−20∫sin⁡3(x) dx\int \left(- 20 \sin^{3}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 20 \int \sin^{3}{\left(x \right)}\, dx

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        sin⁡3(x)=(1−cos⁡2(x))sin⁡(x)\sin^{3}{\left(x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}

      2. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

        Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

        ∫(u2−1) du\int \left(u^{2} - 1\right)\, du

        1. Integramos término a término:

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫(−1) du=−u\int \left(-1\right)\, du = - u

          El resultado es: u33−u\frac{u^{3}}{3} - u

        Si ahora sustituir uu más en:

        cos⁡3(x)3−cos⁡(x)\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cos{\left(x \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: −20cos⁡3(x)3+20cos⁡(x)- \frac{20 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3} + 20 \cos{\left(x \right)}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫40sin⁡(x)cos⁡4(x) dx=40∫sin⁡(x)cos⁡4(x) dx\int 40 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx = 40 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx

      1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

        Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

        ∫(−u4) du\int \left(- u^{4}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u4 du=−∫u4 du\int u^{4}\, du = - \int u^{4}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

          Por lo tanto, el resultado es: −u55- \frac{u^{5}}{5}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cos⁡5(x)5- \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}

      Por lo tanto, el resultado es: −8cos⁡5(x)- 8 \cos^{5}{\left(x \right)}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−40sin⁡(x)cos⁡2(x)) dx=−40∫sin⁡(x)cos⁡2(x) dx\int \left(- 40 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 40 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

      1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

        Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

        ∫(−u2) du\int \left(- u^{2}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u2 du=−∫u2 du\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: −u33- \frac{u^{3}}{3}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cos⁡3(x)3- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

      Por lo tanto, el resultado es: 40cos⁡3(x)3\frac{40 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫5sin⁡(x) dx=5∫sin⁡(x) dx\int 5 \sin{\left(x \right)}\, dx = 5 \int \sin{\left(x \right)}\, dx

      1. La integral del seno es un coseno menos:

        ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: −5cos⁡(x)- 5 \cos{\left(x \right)}

    El resultado es: −128cos⁡9(x)9+32cos⁡7(x)−24cos⁡5(x)+20cos⁡3(x)3−cos⁡(x)- \frac{128 \cos^{9}{\left(x \right)}}{9} + 32 \cos^{7}{\left(x \right)} - 24 \cos^{5}{\left(x \right)} + \frac{20 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cos{\left(x \right)}

  3. Ahora simplificar:

    (−128cos⁡8(x)+288cos⁡6(x)−216cos⁡4(x)+60cos⁡2(x)−9)cos⁡(x)9\frac{\left(- 128 \cos^{8}{\left(x \right)} + 288 \cos^{6}{\left(x \right)} - 216 \cos^{4}{\left(x \right)} + 60 \cos^{2}{\left(x \right)} - 9\right) \cos{\left(x \right)}}{9}

  4. Añadimos la constante de integración:

    (−128cos⁡8(x)+288cos⁡6(x)−216cos⁡4(x)+60cos⁡2(x)−9)cos⁡(x)9+constant\frac{\left(- 128 \cos^{8}{\left(x \right)} + 288 \cos^{6}{\left(x \right)} - 216 \cos^{4}{\left(x \right)} + 60 \cos^{2}{\left(x \right)} - 9\right) \cos{\left(x \right)}}{9}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

(−128cos⁡8(x)+288cos⁡6(x)−216cos⁡4(x)+60cos⁡2(x)−9)cos⁡(x)9+constant\frac{\left(- 128 \cos^{8}{\left(x \right)} + 288 \cos^{6}{\left(x \right)} - 216 \cos^{4}{\left(x \right)} + 60 \cos^{2}{\left(x \right)} - 9\right) \cos{\left(x \right)}}{9}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                     9            3   
 |                                           5            7      128*cos (x)   20*cos (x)
 | cos(4*x)*sin(5*x) dx = C - cos(x) - 24*cos (x) + 32*cos (x) - ----------- + ----------
 |                                                                    9            3     
/
∫sin⁡(5x)cos⁡(4x) dx=C−128cos⁡9(x)9+32cos⁡7(x)−24cos⁡5(x)+20cos⁡3(x)3−cos⁡(x)\int \sin{\left(5 x \right)} \cos{\left(4 x \right)}\, dx = C - \frac{128 \cos^{9}{\left(x \right)}}{9} + 32 \cos^{7}{\left(x \right)} - 24 \cos^{5}{\left(x \right)} + \frac{20 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cos{\left(x \right)}
Simplificar
Gráfica
0.000.250.500.751.001.251.501.752.002.252.502.753.002-2
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
10/9
109\frac{10}{9} 
=
= 
10/9
109\frac{10}{9} 
10/9
Respuesta numérica [src] 
1.11111111111111
1.11111111111111

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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