Integral de arcsin(x/a) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \frac{x}{a}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{a}$ y ponemos $a du$:

      $\int a \operatorname{asin}{\left(u \right)}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \operatorname{asin}{\left(u \right)}\, du = a \int \operatorname{asin}{\left(u \right)}\, du$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = \operatorname{asin}{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, du = u$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. que $u = 1 - u^{2}$.

            Luego que $du = - 2 u du$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

            $\int \left(- \frac{1}{2 \sqrt{u}}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{2}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \sqrt{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \sqrt{1 - u^{2}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $a \left(u \operatorname{asin}{\left(u \right)} + \sqrt{1 - u^{2}}\right)$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $a \left(\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{a^{2}}} + \frac{x \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{a} \right)}}{a}\right)$

   Método #2

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{a} \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{a \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{a^{2}}}}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, dx = x$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{x}{a \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{a^{2}}}}\, dx = \frac{\int \frac{x}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{a^{2}}}}\, dx}{a}$

      1. que $u = 1 - \frac{x^{2}}{a^{2}}$.

         Luego que $du = - \frac{2 x dx}{a^{2}}$ y ponemos $- \frac{a^{2} du}{2}$:

         $\int \left(- \frac{a^{2}}{2 \sqrt{u}}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{a^{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{2}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \sqrt{u} a^{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- a^{2} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{a^{2}}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- a \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{a^{2}}}$

2. Ahora simplificar:

   $a \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{a^{2}}} + x \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{a} \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $a \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{a^{2}}} + x \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{a} \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$a \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{a^{2}}} + x \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{a} \right)}+ \mathrm{constant}$