Integral de (2*x^2+3*x)^4*x*x^3/2+1 dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{x^{3} x \left(2 x^{2} + 3 x\right)^{4}}{2}\, dx = \frac{\int x x^{3} \left(2 x^{2} + 3 x\right)^{4}\, dx}{2}$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $x x^{3} \left(2 x^{2} + 3 x\right)^{4} = 16 x^{12} + 96 x^{11} + 216 x^{10} + 216 x^{9} + 81 x^{8}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 16 x^{12}\, dx = 16 \int x^{12}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{12}\, dx = \frac{x^{13}}{13}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{16 x^{13}}{13}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 96 x^{11}\, dx = 96 \int x^{11}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

            Por lo tanto, el resultado es: $8 x^{12}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 216 x^{10}\, dx = 216 \int x^{10}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{10}\, dx = \frac{x^{11}}{11}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{216 x^{11}}{11}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 216 x^{9}\, dx = 216 \int x^{9}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{108 x^{10}}{5}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 81 x^{8}\, dx = 81 \int x^{8}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

            Por lo tanto, el resultado es: $9 x^{9}$

         El resultado es: $\frac{16 x^{13}}{13} + 8 x^{12} + \frac{216 x^{11}}{11} + \frac{108 x^{10}}{5} + 9 x^{9}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{8 x^{13}}{13} + 4 x^{12} + \frac{108 x^{11}}{11} + \frac{54 x^{10}}{5} + \frac{9 x^{9}}{2}$

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int 1\, dx = x$

   El resultado es: $\frac{8 x^{13}}{13} + 4 x^{12} + \frac{108 x^{11}}{11} + \frac{54 x^{10}}{5} + \frac{9 x^{9}}{2} + x$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x \left(880 x^{12} + 5720 x^{11} + 14040 x^{10} + 15444 x^{9} + 6435 x^{8} + 1430\right)}{1430}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x \left(880 x^{12} + 5720 x^{11} + 14040 x^{10} + 15444 x^{9} + 6435 x^{8} + 1430\right)}{1430}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x \left(880 x^{12} + 5720 x^{11} + 14040 x^{10} + 15444 x^{9} + 6435 x^{8} + 1430\right)}{1430}+ \mathrm{constant}$