Integral de (3*exp^x)/(2-exp^x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = e^{x}$.

      Luego que $du = e^{x} dx$ y ponemos $- 3 du$:

      $\int \left(- \frac{3}{u - 2}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{u - 2}\, du = - 3 \int \frac{1}{u - 2}\, du$

         1. que $u = u - 2$.

            Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(u - 2 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 3 \log{\left(u - 2 \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- 3 \log{\left(e^{x} - 2 \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{3 e^{x}}{2 - e^{x}} = - \frac{3 e^{x}}{e^{x} - 2}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{3 e^{x}}{e^{x} - 2}\right)\, dx = - 3 \int \frac{e^{x}}{e^{x} - 2}\, dx$

      1. que $u = e^{x} - 2$.

         Luego que $du = e^{x} dx$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\log{\left(e^{x} - 2 \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- 3 \log{\left(e^{x} - 2 \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $- 3 \log{\left(e^{x} - 2 \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- 3 \log{\left(e^{x} - 2 \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- 3 \log{\left(e^{x} - 2 \right)}+ \mathrm{constant}$