Integral de exp(x)*sin(exp(x)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = e^{x}$.

      Luego que $du = e^{x} dx$ y ponemos $du$:

      $\int \sin{\left(u \right)}\, du$

      1. La integral del seno es un coseno menos:

         $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \cos{\left(e^{x} \right)}$

   Método #2

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \sin{\left(e^{x} \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = e^{x} \cos{\left(e^{x} \right)}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. La integral de la función exponencial es la mesma.

         $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \cos{\left(e^{x} \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{2 x}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - e^{x} \sin{\left(e^{x} \right)}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. que $u = 2 x$.

         Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\text{False}$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{e^{2 x}}{2}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   3. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = - \frac{\sin{\left(e^{x} \right)}}{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{3 x}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{e^{x} \cos{\left(e^{x} \right)}}{2}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. que $u = 3 x$.

         Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

         $\int \frac{e^{u}}{3}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\text{False}$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{e^{3 x}}{3}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   4. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = - \frac{\cos{\left(e^{x} \right)}}{6}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{4 x}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{e^{x} \sin{\left(e^{x} \right)}}{6}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. que $u = 4 x$.

         Luego que $du = 4 dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

         $\int \frac{e^{u}}{4}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\text{False}$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{4}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{e^{4 x}}{4}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   5. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(e^{x} \right)}}{24}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{5 x}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{e^{x} \cos{\left(e^{x} \right)}}{24}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. que $u = 5 x$.

         Luego que $du = 5 dx$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

         $\int \frac{e^{u}}{5}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\text{False}$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{5}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{e^{5 x}}{5}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   6. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{e^{6 x} \cos{\left(e^{x} \right)}}{120}\, dx = \frac{\int e^{6 x} \cos{\left(e^{x} \right)}\, dx}{120}$

      1. que $u = e^{x}$.

         Luego que $du = e^{x} dx$ y ponemos $du$:

         $\int u^{5} \cos{\left(u \right)}\, du$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = u^{5}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 5 u^{4}$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = 5 u^{4}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 20 u^{3}$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. La integral del seno es un coseno menos:

               $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         3. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = - 20 u^{3}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = - 60 u^{2}$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         4. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = - 60 u^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = - 120 u$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. La integral del seno es un coseno menos:

               $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         5. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = 120 u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 120$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         6. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 120 \sin{\left(u \right)}\, du = 120 \int \sin{\left(u \right)}\, du$

            1. La integral del seno es un coseno menos:

               $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 120 \cos{\left(u \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $e^{5 x} \sin{\left(e^{x} \right)} + 5 e^{4 x} \cos{\left(e^{x} \right)} - 20 e^{3 x} \sin{\left(e^{x} \right)} - 60 e^{2 x} \cos{\left(e^{x} \right)} + 120 e^{x} \sin{\left(e^{x} \right)} + 120 \cos{\left(e^{x} \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{5 x} \sin{\left(e^{x} \right)}}{120} + \frac{e^{4 x} \cos{\left(e^{x} \right)}}{24} - \frac{e^{3 x} \sin{\left(e^{x} \right)}}{6} - \frac{e^{2 x} \cos{\left(e^{x} \right)}}{2} + e^{x} \sin{\left(e^{x} \right)} + \cos{\left(e^{x} \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \cos{\left(e^{x} \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \cos{\left(e^{x} \right)}+ \mathrm{constant}$