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Resolución de integrales/ e^x+1/ ln(e^x+1)

Integral de ln(e^x+1) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 2*pi              
   /               
  |                
  |     / x    \   
  |  log\E  + 1/ dx
  |                
 /                 
 0
∫02πlog⁡(ex+1) dx\int\limits_{0}^{2 \pi} \log{\left(e^{x} + 1 \right)}\, dx 
Integral(log(E^x + 1), (x, 0, 2*pi))
Solución detallada

  1. Usamos la integración por partes:

    ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

    que u(x)=log⁡(ex+1)u{\left(x \right)} = \log{\left(e^{x} + 1 \right)} y que dv⁡(x)=1\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1.

    Entonces du⁡(x)=exex+1\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}.

    Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

    1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

    Ahora resolvemos podintegral.

  2. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

    Pero la integral

    ∫xexex+1 dx\int \frac{x e^{x}}{e^{x} + 1}\, dx

  3. Ahora simplificar:

    xlog⁡(ex+1)−∫xexex+1 dxx \log{\left(e^{x} + 1 \right)} - \int \frac{x e^{x}}{e^{x} + 1}\, dx

  4. Añadimos la constante de integración:

    xlog⁡(ex+1)−∫xexex+1 dx+constantx \log{\left(e^{x} + 1 \right)} - \int \frac{x e^{x}}{e^{x} + 1}\, dx+ \mathrm{constant}

Respuesta:

xlog⁡(ex+1)−∫xexex+1 dx+constantx \log{\left(e^{x} + 1 \right)} - \int \frac{x e^{x}}{e^{x} + 1}\, dx+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
                          /                         
  /                      |                          
 |                       |     x                    
 |    / x    \           |  x*e             / x    \
 | log\E  + 1/ dx = C -  | ------ dx + x*log\E  + 1/
 |                       |      x                   
/                        | 1 + e                    
                         |                          
                        /
∫log⁡(ex+1) dx=C+xlog⁡(ex+1)−∫xexex+1 dx\int \log{\left(e^{x} + 1 \right)}\, dx = C + x \log{\left(e^{x} + 1 \right)} - \int \frac{x e^{x}}{e^{x} + 1}\, dx
Simplificar
Respuesta [src] 
   2*pi                               
     /                                
    |                                 
    |      x                          
    |   x*e                /     2*pi\
-   |  ------ dx + 2*pi*log\1 + e    /
    |       x                         
    |  1 + e                          
    |                                 
   /                                  
   0
−∫02πxexex+1 dx+2πlog⁡(1+e2π)- \int\limits_{0}^{2 \pi} \frac{x e^{x}}{e^{x} + 1}\, dx + 2 \pi \log{\left(1 + e^{2 \pi} \right)} 
=
= 
   2*pi                               
     /                                
    |                                 
    |      x                          
    |   x*e                /     2*pi\
-   |  ------ dx + 2*pi*log\1 + e    /
    |       x                         
    |  1 + e                          
    |                                 
   /                                  
   0
−∫02πxexex+1 dx+2πlog⁡(1+e2π)- \int\limits_{0}^{2 \pi} \frac{x e^{x}}{e^{x} + 1}\, dx + 2 \pi \log{\left(1 + e^{2 \pi} \right)} 
-Integral(x*exp(x)/(1 + exp(x)), (x, 0, 2*pi)) + 2*pi*log(1 + exp(2*pi))
Respuesta numérica [src] 
20.5598092639839
20.5598092639839

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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