Integral de ((exp^x)-1)/x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \frac{1}{x}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{e^{\frac{1}{u}} - 1}{u}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{e^{\frac{1}{u}} - 1}{u}\, du = - \int \frac{e^{\frac{1}{u}} - 1}{u}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{e^{\frac{1}{u}} - 1}{u} = \frac{e^{\frac{1}{u}}}{u} - \frac{1}{u}$

         2. Integramos término a término:

            1. que $u = \frac{1}{u}$.

               Luego que $du = - \frac{du}{u^{2}}$ y ponemos $- du$:

               $\int \left(- \frac{e^{u}}{u}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{e^{u}}{u}\, du = - \int \frac{e^{u}}{u}\, du$

                  EiRule(a=1, b=0, context=exp(_u)/_u, symbol=_u)

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \operatorname{Ei}{\left(u \right)}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \operatorname{Ei}{\left(\frac{1}{u} \right)}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(u \right)}$

            El resultado es: $- \log{\left(u \right)} - \operatorname{Ei}{\left(\frac{1}{u} \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\log{\left(u \right)} + \operatorname{Ei}{\left(\frac{1}{u} \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \log{\left(x \right)} + \operatorname{Ei}{\left(x \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{e^{x} - 1}{x} = \frac{e^{x}}{x} - \frac{1}{x}$

   2. Integramos término a término:

      EiRule(a=1, b=0, context=exp(x)/x, symbol=x)

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x}\, dx$

         1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(x \right)}$

      El resultado es: $- \log{\left(x \right)} + \operatorname{Ei}{\left(x \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \log{\left(x \right)} + \operatorname{Ei}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \log{\left(x \right)} + \operatorname{Ei}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$