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Resolución de integrales/ exp(x^2)*(2*x^2*y-x*y^2+y)*dx

Integral de exp(x^2)*(2*x^2*y-x*y^2+y)*dx dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                             
  /                             
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 |   / 2\                       
 |   \x / /   2        2    \   
 |  e    *\2*x *y - x*y  + y/ dx
 |                              
/                               
0
∫01(y+(−xy2+2x2y))ex2 dx\int\limits_{0}^{1} \left(y + \left(- x y^{2} + 2 x^{2} y\right)\right) e^{x^{2}}\, dx 
Integral(exp(x^2)*((2*x^2)*y - x*y^2 + y), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (y+(−xy2+2x2y))ex2=2x2yex2−xy2ex2+yex2\left(y + \left(- x y^{2} + 2 x^{2} y\right)\right) e^{x^{2}} = 2 x^{2} y e^{x^{2}} - x y^{2} e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2x2yex2 dx=2y∫x2ex2 dx\int 2 x^{2} y e^{x^{2}}\, dx = 2 y \int x^{2} e^{x^{2}}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=x2u{\left(x \right)} = x^{2} y que dv⁡(x)=ex2\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x^{2}}.

          Entonces du⁡(x)=2x\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

            ErfRule(a=1, b=0, c=0, context=exp(x**2), symbol=x)

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫πxerfi⁡(x) dx=π∫xerfi⁡(x) dx\int \sqrt{\pi} x \operatorname{erfi}{\left(x \right)}\, dx = \sqrt{\pi} \int x \operatorname{erfi}{\left(x \right)}\, dx

          1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

            Pero la integral

            x2erfi⁡(x)2−xex22π+erfi⁡(x)4\frac{x^{2} \operatorname{erfi}{\left(x \right)}}{2} - \frac{x e^{x^{2}}}{2 \sqrt{\pi}} + \frac{\operatorname{erfi}{\left(x \right)}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: π(x2erfi⁡(x)2−xex22π+erfi⁡(x)4)\sqrt{\pi} \left(\frac{x^{2} \operatorname{erfi}{\left(x \right)}}{2} - \frac{x e^{x^{2}}}{2 \sqrt{\pi}} + \frac{\operatorname{erfi}{\left(x \right)}}{4}\right)

        Por lo tanto, el resultado es: 2y(πx2erfi⁡(x)2−π(x2erfi⁡(x)2−xex22π+erfi⁡(x)4))2 y \left(\frac{\sqrt{\pi} x^{2} \operatorname{erfi}{\left(x \right)}}{2} - \sqrt{\pi} \left(\frac{x^{2} \operatorname{erfi}{\left(x \right)}}{2} - \frac{x e^{x^{2}}}{2 \sqrt{\pi}} + \frac{\operatorname{erfi}{\left(x \right)}}{4}\right)\right)

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−xy2ex2) dx=−y2∫xex2 dx\int \left(- x y^{2} e^{x^{2}}\right)\, dx = - y^{2} \int x e^{x^{2}}\, dx

        1. que u=x2u = x^{2}.

          Luego que du=2xdxdu = 2 x dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          ex22\frac{e^{x^{2}}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −y2ex22- \frac{y^{2} e^{x^{2}}}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫yex2 dx=y∫ex2 dx\int y e^{x^{2}}\, dx = y \int e^{x^{2}}\, dx

          ErfRule(a=1, b=0, c=0, context=exp(x**2), symbol=x)

        Por lo tanto, el resultado es: πyerfi⁡(x)2\frac{\sqrt{\pi} y \operatorname{erfi}{\left(x \right)}}{2}

      El resultado es: −y2ex22+2y(πx2erfi⁡(x)2−π(x2erfi⁡(x)2−xex22π+erfi⁡(x)4))+πyerfi⁡(x)2- \frac{y^{2} e^{x^{2}}}{2} + 2 y \left(\frac{\sqrt{\pi} x^{2} \operatorname{erfi}{\left(x \right)}}{2} - \sqrt{\pi} \left(\frac{x^{2} \operatorname{erfi}{\left(x \right)}}{2} - \frac{x e^{x^{2}}}{2 \sqrt{\pi}} + \frac{\operatorname{erfi}{\left(x \right)}}{4}\right)\right) + \frac{\sqrt{\pi} y \operatorname{erfi}{\left(x \right)}}{2}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=y(2x2−xy+1)u{\left(x \right)} = y \left(2 x^{2} - x y + 1\right) y que dv⁡(x)=ex2\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x^{2}}.

      Entonces du⁡(x)=y(4x−y)\operatorname{du}{\left(x \right)} = y \left(4 x - y\right).

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        ErfRule(a=1, b=0, c=0, context=exp(x**2), symbol=x)

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫πy(4x−y)erfi⁡(x)2 dx=πy∫(4x−y)erfi⁡(x) dx2\int \frac{\sqrt{\pi} y \left(4 x - y\right) \operatorname{erfi}{\left(x \right)}}{2}\, dx = \frac{\sqrt{\pi} y \int \left(4 x - y\right) \operatorname{erfi}{\left(x \right)}\, dx}{2}

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        (4x−y)erfi⁡(x)=4xerfi⁡(x)−yerfi⁡(x)\left(4 x - y\right) \operatorname{erfi}{\left(x \right)} = 4 x \operatorname{erfi}{\left(x \right)} - y \operatorname{erfi}{\left(x \right)}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫4xerfi⁡(x) dx=4∫xerfi⁡(x) dx\int 4 x \operatorname{erfi}{\left(x \right)}\, dx = 4 \int x \operatorname{erfi}{\left(x \right)}\, dx

          1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

            Pero la integral

            x2erfi⁡(x)2−xex22π+erfi⁡(x)4\frac{x^{2} \operatorname{erfi}{\left(x \right)}}{2} - \frac{x e^{x^{2}}}{2 \sqrt{\pi}} + \frac{\operatorname{erfi}{\left(x \right)}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: 2x2erfi⁡(x)−2xex2π+erfi⁡(x)2 x^{2} \operatorname{erfi}{\left(x \right)} - \frac{2 x e^{x^{2}}}{\sqrt{\pi}} + \operatorname{erfi}{\left(x \right)}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−yerfi⁡(x)) dx=−y∫erfi⁡(x) dx\int \left(- y \operatorname{erfi}{\left(x \right)}\right)\, dx = - y \int \operatorname{erfi}{\left(x \right)}\, dx

          1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

            Pero la integral

            xerfi⁡(x)−ex2πx \operatorname{erfi}{\left(x \right)} - \frac{e^{x^{2}}}{\sqrt{\pi}}

          Por lo tanto, el resultado es: −y(xerfi⁡(x)−ex2π)- y \left(x \operatorname{erfi}{\left(x \right)} - \frac{e^{x^{2}}}{\sqrt{\pi}}\right)

        El resultado es: 2x2erfi⁡(x)−2xex2π−y(xerfi⁡(x)−ex2π)+erfi⁡(x)2 x^{2} \operatorname{erfi}{\left(x \right)} - \frac{2 x e^{x^{2}}}{\sqrt{\pi}} - y \left(x \operatorname{erfi}{\left(x \right)} - \frac{e^{x^{2}}}{\sqrt{\pi}}\right) + \operatorname{erfi}{\left(x \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: πy(2x2erfi⁡(x)−2xex2π−y(xerfi⁡(x)−ex2π)+erfi⁡(x))2\frac{\sqrt{\pi} y \left(2 x^{2} \operatorname{erfi}{\left(x \right)} - \frac{2 x e^{x^{2}}}{\sqrt{\pi}} - y \left(x \operatorname{erfi}{\left(x \right)} - \frac{e^{x^{2}}}{\sqrt{\pi}}\right) + \operatorname{erfi}{\left(x \right)}\right)}{2}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (y+(−xy2+2x2y))ex2=2x2yex2−xy2ex2+yex2\left(y + \left(- x y^{2} + 2 x^{2} y\right)\right) e^{x^{2}} = 2 x^{2} y e^{x^{2}} - x y^{2} e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2x2yex2 dx=2y∫x2ex2 dx\int 2 x^{2} y e^{x^{2}}\, dx = 2 y \int x^{2} e^{x^{2}}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=x2u{\left(x \right)} = x^{2} y que dv⁡(x)=ex2\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x^{2}}.

          Entonces du⁡(x)=2x\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

            ErfRule(a=1, b=0, c=0, context=exp(x**2), symbol=x)

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫πxerfi⁡(x) dx=π∫xerfi⁡(x) dx\int \sqrt{\pi} x \operatorname{erfi}{\left(x \right)}\, dx = \sqrt{\pi} \int x \operatorname{erfi}{\left(x \right)}\, dx

          1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

            Pero la integral

            x2erfi⁡(x)2−xex22π+erfi⁡(x)4\frac{x^{2} \operatorname{erfi}{\left(x \right)}}{2} - \frac{x e^{x^{2}}}{2 \sqrt{\pi}} + \frac{\operatorname{erfi}{\left(x \right)}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: π(x2erfi⁡(x)2−xex22π+erfi⁡(x)4)\sqrt{\pi} \left(\frac{x^{2} \operatorname{erfi}{\left(x \right)}}{2} - \frac{x e^{x^{2}}}{2 \sqrt{\pi}} + \frac{\operatorname{erfi}{\left(x \right)}}{4}\right)

        Por lo tanto, el resultado es: 2y(πx2erfi⁡(x)2−π(x2erfi⁡(x)2−xex22π+erfi⁡(x)4))2 y \left(\frac{\sqrt{\pi} x^{2} \operatorname{erfi}{\left(x \right)}}{2} - \sqrt{\pi} \left(\frac{x^{2} \operatorname{erfi}{\left(x \right)}}{2} - \frac{x e^{x^{2}}}{2 \sqrt{\pi}} + \frac{\operatorname{erfi}{\left(x \right)}}{4}\right)\right)

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−xy2ex2) dx=−y2∫xex2 dx\int \left(- x y^{2} e^{x^{2}}\right)\, dx = - y^{2} \int x e^{x^{2}}\, dx

        1. que u=x2u = x^{2}.

          Luego que du=2xdxdu = 2 x dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          ex22\frac{e^{x^{2}}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −y2ex22- \frac{y^{2} e^{x^{2}}}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫yex2 dx=y∫ex2 dx\int y e^{x^{2}}\, dx = y \int e^{x^{2}}\, dx

          ErfRule(a=1, b=0, c=0, context=exp(x**2), symbol=x)

        Por lo tanto, el resultado es: πyerfi⁡(x)2\frac{\sqrt{\pi} y \operatorname{erfi}{\left(x \right)}}{2}

      El resultado es: −y2ex22+2y(πx2erfi⁡(x)2−π(x2erfi⁡(x)2−xex22π+erfi⁡(x)4))+πyerfi⁡(x)2- \frac{y^{2} e^{x^{2}}}{2} + 2 y \left(\frac{\sqrt{\pi} x^{2} \operatorname{erfi}{\left(x \right)}}{2} - \sqrt{\pi} \left(\frac{x^{2} \operatorname{erfi}{\left(x \right)}}{2} - \frac{x e^{x^{2}}}{2 \sqrt{\pi}} + \frac{\operatorname{erfi}{\left(x \right)}}{4}\right)\right) + \frac{\sqrt{\pi} y \operatorname{erfi}{\left(x \right)}}{2}

  2. Ahora simplificar:

    y(2x−y)ex22\frac{y \left(2 x - y\right) e^{x^{2}}}{2}

  3. Añadimos la constante de integración:

    y(2x−y)ex22+constant\frac{y \left(2 x - y\right) e^{x^{2}}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

y(2x−y)ex22+constant\frac{y \left(2 x - y\right) e^{x^{2}}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                                                                                     
 |                                        /         /                          / 2\ \                    \       / 2\                   
 |  / 2\                                  |         |           2              \x / |     ____  2        |    2  \x /       ____        
 |  \x / /   2        2    \              |    ____ |erfi(x)   x *erfi(x)   x*e     |   \/ pi *x *erfi(x)|   y *e       y*\/ pi *erfi(x)
 | e    *\2*x *y - x*y  + y/ dx = C + 2*y*|- \/ pi *|------- + ---------- - --------| + -----------------| - -------- + ----------------
 |                                        |         |   4          2            ____|           2        |      2              2        
/                                         \         \                       2*\/ pi /                    /
∫(y+(−xy2+2x2y))ex2 dx=C−y2ex22+2y(πx2erfi⁡(x)2−π(x2erfi⁡(x)2−xex22π+erfi⁡(x)4))+πyerfi⁡(x)2\int \left(y + \left(- x y^{2} + 2 x^{2} y\right)\right) e^{x^{2}}\, dx = C - \frac{y^{2} e^{x^{2}}}{2} + 2 y \left(\frac{\sqrt{\pi} x^{2} \operatorname{erfi}{\left(x \right)}}{2} - \sqrt{\pi} \left(\frac{x^{2} \operatorname{erfi}{\left(x \right)}}{2} - \frac{x e^{x^{2}}}{2 \sqrt{\pi}} + \frac{\operatorname{erfi}{\left(x \right)}}{4}\right)\right) + \frac{\sqrt{\pi} y \operatorname{erfi}{\left(x \right)}}{2}
Simplificar
Respuesta [src] 
 2     /   2      \
y    E*\- y  + 2*y/
-- + --------------
2          2
y22+e(−y2+2y)2\frac{y^{2}}{2} + \frac{e \left(- y^{2} + 2 y\right)}{2} 
=
= 
 2     /   2      \
y    E*\- y  + 2*y/
-- + --------------
2          2
y22+e(−y2+2y)2\frac{y^{2}}{2} + \frac{e \left(- y^{2} + 2 y\right)}{2} 
y^2/2 + E*(-y^2 + 2*y)/2

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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