Integral de sin^5x/cos^4x dx

Solución

Ha introducido [src]

  1           
  /           
 |            
 |     5      
 |  sin (x)   
 |  ------- dx
 |     4      
 |  cos (x)   
 |            
/             
0

$$\int\limits_{0}^{1} \frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{\cos^{4}{\left(x \right)}}\, dx$$

Integral(sin(x)^5/cos(x)^4, (x, 0, 1))

Solución detallada

Vuelva a escribir el integrando:

$\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{\cos^{4}{\left(x \right)}} = \frac{\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \sin{\left(x \right)}}{\cos^{4}{\left(x \right)}}$
Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
1. que $u = \cos{\left(x \right)}$ .
  
  Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$ :
  
  $\int \left(- \frac{u^{4} - 2 u^{2} + 1}{u^{4}}\right)\, du$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \frac{u^{4} - 2 u^{2} + 1}{u^{4}}\, du = - \int \frac{u^{4} - 2 u^{2} + 1}{u^{4}}\, du$
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\frac{u^{4} - 2 u^{2} + 1}{u^{4}} = 1 - \frac{2}{u^{2}} + \frac{1}{u^{4}}$
    2. Integramos término a término:
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int 1\, du = u$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{2}{u^{2}}\right)\, du = - 2 \int \frac{1}{u^{2}}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2}{u}$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$
      
      El resultado es: $u + \frac{2}{u} - \frac{1}{3 u^{3}}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- u - \frac{2}{u} + \frac{1}{3 u^{3}}$
  Si ahora sustituir $u$ más en:
  
  $- \cos{\left(x \right)} - \frac{2}{\cos{\left(x \right)}} + \frac{1}{3 \cos^{3}{\left(x \right)}}$
Método #2
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\frac{\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \sin{\left(x \right)}}{\cos^{4}{\left(x \right)}} = \frac{\sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}}{\cos^{4}{\left(x \right)}}$
2. que $u = \cos{\left(x \right)}$ .
  
  Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$ :
  
  $\int \left(- \frac{u^{4} - 2 u^{2} + 1}{u^{4}}\right)\, du$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \frac{u^{4} - 2 u^{2} + 1}{u^{4}}\, du = - \int \frac{u^{4} - 2 u^{2} + 1}{u^{4}}\, du$
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\frac{u^{4} - 2 u^{2} + 1}{u^{4}} = 1 - \frac{2}{u^{2}} + \frac{1}{u^{4}}$
    2. Integramos término a término:
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int 1\, du = u$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{2}{u^{2}}\right)\, du = - 2 \int \frac{1}{u^{2}}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2}{u}$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$
      
      El resultado es: $u + \frac{2}{u} - \frac{1}{3 u^{3}}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- u - \frac{2}{u} + \frac{1}{3 u^{3}}$
  Si ahora sustituir $u$ más en:
  
  $- \cos{\left(x \right)} - \frac{2}{\cos{\left(x \right)}} + \frac{1}{3 \cos^{3}{\left(x \right)}}$
Método #3
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\frac{\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \sin{\left(x \right)}}{\cos^{4}{\left(x \right)}} = \sin{\left(x \right)} - \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos^{4}{\left(x \right)}}$
2. Integramos término a término:
  1. La integral del seno es un coseno menos:
    
    $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\right)\, dx = - 2 \int \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\, dx$
    1. que $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$ :
      
      $\int \left(- \frac{1}{u^{2}}\right)\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \int \frac{1}{u^{2}}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{u}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{1}{\cos{\left(x \right)}}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2}{\cos{\left(x \right)}}$
  1. que $u = \cos{\left(x \right)}$ .
    
    Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$ :
    
    $\int \left(- \frac{1}{u^{4}}\right)\, du$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \int \frac{1}{u^{4}}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{3 u^{3}}$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $\frac{1}{3 \cos^{3}{\left(x \right)}}$
  El resultado es: $- \cos{\left(x \right)} - \frac{2}{\cos{\left(x \right)}} + \frac{1}{3 \cos^{3}{\left(x \right)}}$
Añadimos la constante de integración:

$- \cos{\left(x \right)} - \frac{2}{\cos{\left(x \right)}} + \frac{1}{3 \cos^{3}{\left(x \right)}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \cos{\left(x \right)} - \frac{2}{\cos{\left(x \right)}} + \frac{1}{3 \cos^{3}{\left(x \right)}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

  /                                            
 |                                             
 |    5                                        
 | sin (x)                     2          1    
 | ------- dx = C - cos(x) - ------ + ---------
 |    4                      cos(x)        3   
 | cos (x)                            3*cos (x)
 |                                             
/

$$\int \frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{\cos^{4}{\left(x \right)}}\, dx = C - \cos{\left(x \right)} - \frac{2}{\cos{\left(x \right)}} + \frac{1}{3 \cos^{3}{\left(x \right)}}$$

Simplificar

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Respuesta [src]

                       2   
8            -1 + 6*cos (1)
- - cos(1) - --------------
3                   3      
               3*cos (1)

$$- \frac{-1 + 6 \cos^{2}{\left(1 \right)}}{3 \cos^{3}{\left(1 \right)}} - \cos{\left(1 \right)} + \frac{8}{3}$$

                       2   
8            -1 + 6*cos (1)
- - cos(1) - --------------
3                   3      
               3*cos (1)

$$- \frac{-1 + 6 \cos^{2}{\left(1 \right)}}{3 \cos^{3}{\left(1 \right)}} - \cos{\left(1 \right)} + \frac{8}{3}$$

8/3 - cos(1) - (-1 + 6*cos(1)^2)/(3*cos(1)^3)

Respuesta numérica [src]

0.538067617028605

0.538067617028605

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones con funciones

Integral de sin^5x/cos^4x dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Método #1

Método #2

Método #3