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Resolución de integrales/ cos^4/ sin^5/ sin^5x/cos^4x

Integral de sin^5x/cos^4x dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1           
  /           
 |            
 |     5      
 |  sin (x)   
 |  ------- dx
 |     4      
 |  cos (x)   
 |            
/             
0
∫01sin⁡5(x)cos⁡4(x) dx\int\limits_{0}^{1} \frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{\cos^{4}{\left(x \right)}}\, dx 
Integral(sin(x)^5/cos(x)^4, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    sin⁡5(x)cos⁡4(x)=(1−cos⁡2(x))2sin⁡(x)cos⁡4(x)\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{\cos^{4}{\left(x \right)}} = \frac{\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \sin{\left(x \right)}}{\cos^{4}{\left(x \right)}}

  2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

      Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

      ∫(−u4−2u2+1u4) du\int \left(- \frac{u^{4} - 2 u^{2} + 1}{u^{4}}\right)\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫u4−2u2+1u4 du=−∫u4−2u2+1u4 du\int \frac{u^{4} - 2 u^{2} + 1}{u^{4}}\, du = - \int \frac{u^{4} - 2 u^{2} + 1}{u^{4}}\, du

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          u4−2u2+1u4=1−2u2+1u4\frac{u^{4} - 2 u^{2} + 1}{u^{4}} = 1 - \frac{2}{u^{2}} + \frac{1}{u^{4}}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫1 du=u\int 1\, du = u

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−2u2) du=−2∫1u2 du\int \left(- \frac{2}{u^{2}}\right)\, du = - 2 \int \frac{1}{u^{2}}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

            Por lo tanto, el resultado es: 2u\frac{2}{u}

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫1u4 du=−13u3\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}

          El resultado es: u+2u−13u3u + \frac{2}{u} - \frac{1}{3 u^{3}}

        Por lo tanto, el resultado es: −u−2u+13u3- u - \frac{2}{u} + \frac{1}{3 u^{3}}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −cos⁡(x)−2cos⁡(x)+13cos⁡3(x)- \cos{\left(x \right)} - \frac{2}{\cos{\left(x \right)}} + \frac{1}{3 \cos^{3}{\left(x \right)}}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (1−cos⁡2(x))2sin⁡(x)cos⁡4(x)=sin⁡(x)cos⁡4(x)−2sin⁡(x)cos⁡2(x)+sin⁡(x)cos⁡4(x)\frac{\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \sin{\left(x \right)}}{\cos^{4}{\left(x \right)}} = \frac{\sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}}{\cos^{4}{\left(x \right)}}

    2. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

      Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

      ∫(−u4−2u2+1u4) du\int \left(- \frac{u^{4} - 2 u^{2} + 1}{u^{4}}\right)\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫u4−2u2+1u4 du=−∫u4−2u2+1u4 du\int \frac{u^{4} - 2 u^{2} + 1}{u^{4}}\, du = - \int \frac{u^{4} - 2 u^{2} + 1}{u^{4}}\, du

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          u4−2u2+1u4=1−2u2+1u4\frac{u^{4} - 2 u^{2} + 1}{u^{4}} = 1 - \frac{2}{u^{2}} + \frac{1}{u^{4}}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫1 du=u\int 1\, du = u

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−2u2) du=−2∫1u2 du\int \left(- \frac{2}{u^{2}}\right)\, du = - 2 \int \frac{1}{u^{2}}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

            Por lo tanto, el resultado es: 2u\frac{2}{u}

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫1u4 du=−13u3\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}

          El resultado es: u+2u−13u3u + \frac{2}{u} - \frac{1}{3 u^{3}}

        Por lo tanto, el resultado es: −u−2u+13u3- u - \frac{2}{u} + \frac{1}{3 u^{3}}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −cos⁡(x)−2cos⁡(x)+13cos⁡3(x)- \cos{\left(x \right)} - \frac{2}{\cos{\left(x \right)}} + \frac{1}{3 \cos^{3}{\left(x \right)}}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (1−cos⁡2(x))2sin⁡(x)cos⁡4(x)=sin⁡(x)−2sin⁡(x)cos⁡2(x)+sin⁡(x)cos⁡4(x)\frac{\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \sin{\left(x \right)}}{\cos^{4}{\left(x \right)}} = \sin{\left(x \right)} - \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos^{4}{\left(x \right)}}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del seno es un coseno menos:

        ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−2sin⁡(x)cos⁡2(x)) dx=−2∫sin⁡(x)cos⁡2(x) dx\int \left(- \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\right)\, dx = - 2 \int \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\, dx

        1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

          Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

          ∫(−1u2) du\int \left(- \frac{1}{u^{2}}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫1u2 du=−∫1u2 du\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \int \frac{1}{u^{2}}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

            Por lo tanto, el resultado es: 1u\frac{1}{u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          1cos⁡(x)\frac{1}{\cos{\left(x \right)}}

        Por lo tanto, el resultado es: −2cos⁡(x)- \frac{2}{\cos{\left(x \right)}}

      1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

        Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

        ∫(−1u4) du\int \left(- \frac{1}{u^{4}}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫1u4 du=−∫1u4 du\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \int \frac{1}{u^{4}}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫1u4 du=−13u3\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}

          Por lo tanto, el resultado es: 13u3\frac{1}{3 u^{3}}

        Si ahora sustituir uu más en:

        13cos⁡3(x)\frac{1}{3 \cos^{3}{\left(x \right)}}

      El resultado es: −cos⁡(x)−2cos⁡(x)+13cos⁡3(x)- \cos{\left(x \right)} - \frac{2}{\cos{\left(x \right)}} + \frac{1}{3 \cos^{3}{\left(x \right)}}

  3. Añadimos la constante de integración:

    −cos⁡(x)−2cos⁡(x)+13cos⁡3(x)+constant- \cos{\left(x \right)} - \frac{2}{\cos{\left(x \right)}} + \frac{1}{3 \cos^{3}{\left(x \right)}}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−cos⁡(x)−2cos⁡(x)+13cos⁡3(x)+constant- \cos{\left(x \right)} - \frac{2}{\cos{\left(x \right)}} + \frac{1}{3 \cos^{3}{\left(x \right)}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                            
 |                                             
 |    5                                        
 | sin (x)                     2          1    
 | ------- dx = C - cos(x) - ------ + ---------
 |    4                      cos(x)        3   
 | cos (x)                            3*cos (x)
 |                                             
/
∫sin⁡5(x)cos⁡4(x) dx=C−cos⁡(x)−2cos⁡(x)+13cos⁡3(x)\int \frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{\cos^{4}{\left(x \right)}}\, dx = C - \cos{\left(x \right)} - \frac{2}{\cos{\left(x \right)}} + \frac{1}{3 \cos^{3}{\left(x \right)}}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-1010
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
                       2   
8            -1 + 6*cos (1)
- - cos(1) - --------------
3                   3      
               3*cos (1)
−−1+6cos⁡2(1)3cos⁡3(1)−cos⁡(1)+83- \frac{-1 + 6 \cos^{2}{\left(1 \right)}}{3 \cos^{3}{\left(1 \right)}} - \cos{\left(1 \right)} + \frac{8}{3} 
=
= 
                       2   
8            -1 + 6*cos (1)
- - cos(1) - --------------
3                   3      
               3*cos (1)
−−1+6cos⁡2(1)3cos⁡3(1)−cos⁡(1)+83- \frac{-1 + 6 \cos^{2}{\left(1 \right)}}{3 \cos^{3}{\left(1 \right)}} - \cos{\left(1 \right)} + \frac{8}{3} 
8/3 - cos(1) - (-1 + 6*cos(1)^2)/(3*cos(1)^3)
Respuesta numérica [src] 
0.538067617028605
0.538067617028605

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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