Integral de 1/(1+(sqrt(x))) dx

1. que $u = \sqrt{x}$.

   Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $2 du$:

   $\int \frac{2 u}{u + 1}\, du$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{u}{u + 1}\, du = 2 \int \frac{u}{u + 1}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{u}{u + 1} = 1 - \frac{1}{u + 1}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, du = u$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{1}{u + 1}\right)\, du = - \int \frac{1}{u + 1}\, du$

            1. que $u = u + 1$.

               Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(u + 1 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(u + 1 \right)}$

         El resultado es: $u - \log{\left(u + 1 \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $2 u - 2 \log{\left(u + 1 \right)}$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $2 \sqrt{x} - 2 \log{\left(\sqrt{x} + 1 \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $2 \sqrt{x} - 2 \log{\left(\sqrt{x} + 1 \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$2 \sqrt{x} - 2 \log{\left(\sqrt{x} + 1 \right)}+ \mathrm{constant}$