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Resolución de integrales/ (1-3x)/ (1-3x)sin(1/2(x))dx

Integral de (1-3x)sin(1/2(x))dx dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                    
  /                    
 |                     
 |               /x\   
 |  (1 - 3*x)*sin|-| dx
 |               \2/   
 |                     
/                      
0
∫01(1−3x)sin⁡(x2) dx\int\limits_{0}^{1} \left(1 - 3 x\right) \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx 
Integral((1 - 3*x)*sin(x/2), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (1−3x)sin⁡(x2)=−3xsin⁡(x2)+sin⁡(x2)\left(1 - 3 x\right) \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} = - 3 x \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−3xsin⁡(x2)) dx=−3∫xsin⁡(x2) dx\int \left(- 3 x \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)\, dx = - 3 \int x \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(x2)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

            Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

            ∫2sin⁡(u) du\int 2 \sin{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=2∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 2 \int \sin{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −2cos⁡(u)- 2 \cos{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −2cos⁡(x2)- 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−2cos⁡(x2)) dx=−2∫cos⁡(x2) dx\int \left(- 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)\, dx = - 2 \int \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx

          1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

            Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

            ∫2cos⁡(u) du\int 2 \cos{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=2∫cos⁡(u) du\int \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int \cos{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: 2sin⁡(u)2 \sin{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            2sin⁡(x2)2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −4sin⁡(x2)- 4 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 6xcos⁡(x2)−12sin⁡(x2)6 x \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} - 12 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}

      1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

        Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

        ∫2sin⁡(u) du\int 2 \sin{\left(u \right)}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(u) du=2∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 2 \int \sin{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −2cos⁡(u)- 2 \cos{\left(u \right)}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −2cos⁡(x2)- 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}

      El resultado es: 6xcos⁡(x2)−12sin⁡(x2)−2cos⁡(x2)6 x \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} - 12 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=1−3xu{\left(x \right)} = 1 - 3 x y que dv⁡(x)=sin⁡(x2)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}.

      Entonces du⁡(x)=−3\operatorname{du}{\left(x \right)} = -3.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

        Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

        ∫2sin⁡(u) du\int 2 \sin{\left(u \right)}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(u) du=2∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 2 \int \sin{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −2cos⁡(u)- 2 \cos{\left(u \right)}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −2cos⁡(x2)- 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫6cos⁡(x2) dx=6∫cos⁡(x2) dx\int 6 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx = 6 \int \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx

      1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

        Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

        ∫2cos⁡(u) du\int 2 \cos{\left(u \right)}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=2∫cos⁡(u) du\int \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int \cos{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 2sin⁡(u)2 \sin{\left(u \right)}

        Si ahora sustituir uu más en:

        2sin⁡(x2)2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: 12sin⁡(x2)12 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (1−3x)sin⁡(x2)=−3xsin⁡(x2)+sin⁡(x2)\left(1 - 3 x\right) \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} = - 3 x \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−3xsin⁡(x2)) dx=−3∫xsin⁡(x2) dx\int \left(- 3 x \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)\, dx = - 3 \int x \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(x2)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

            Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

            ∫2sin⁡(u) du\int 2 \sin{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=2∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 2 \int \sin{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −2cos⁡(u)- 2 \cos{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −2cos⁡(x2)- 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−2cos⁡(x2)) dx=−2∫cos⁡(x2) dx\int \left(- 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)\, dx = - 2 \int \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx

          1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

            Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

            ∫2cos⁡(u) du\int 2 \cos{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=2∫cos⁡(u) du\int \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int \cos{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: 2sin⁡(u)2 \sin{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            2sin⁡(x2)2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −4sin⁡(x2)- 4 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 6xcos⁡(x2)−12sin⁡(x2)6 x \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} - 12 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}

      1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

        Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

        ∫2sin⁡(u) du\int 2 \sin{\left(u \right)}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(u) du=2∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 2 \int \sin{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −2cos⁡(u)- 2 \cos{\left(u \right)}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −2cos⁡(x2)- 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}

      El resultado es: 6xcos⁡(x2)−12sin⁡(x2)−2cos⁡(x2)6 x \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} - 12 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    6xcos⁡(x2)−12sin⁡(x2)−2cos⁡(x2)+constant6 x \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} - 12 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

6xcos⁡(x2)−12sin⁡(x2)−2cos⁡(x2)+constant6 x \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} - 12 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                           
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 |              /x\                /x\        /x\          /x\
 | (1 - 3*x)*sin|-| dx = C - 12*sin|-| - 2*cos|-| + 6*x*cos|-|
 |              \2/                \2/        \2/          \2/
 |                                                            
/
∫(1−3x)sin⁡(x2) dx=C+6xcos⁡(x2)−12sin⁡(x2)−2cos⁡(x2)\int \left(1 - 3 x\right) \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx = C + 6 x \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} - 12 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.902.5-2.5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
2 - 12*sin(1/2) + 4*cos(1/2)
−12sin⁡(12)+2+4cos⁡(12)- 12 \sin{\left(\frac{1}{2} \right)} + 2 + 4 \cos{\left(\frac{1}{2} \right)} 
=
= 
2 - 12*sin(1/2) + 4*cos(1/2)
−12sin⁡(12)+2+4cos⁡(12)- 12 \sin{\left(\frac{1}{2} \right)} + 2 + 4 \cos{\left(\frac{1}{2} \right)} 
2 - 12*sin(1/2) + 4*cos(1/2)
Respuesta numérica [src] 
-0.242776215688945
-0.242776215688945

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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