Integral de x^2*arctan(3*x) dx

1. Usamos la integración por partes:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   que $u{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(3 x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x^{2}$.

   Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{3}{9 x^{2} + 1}$.

   Para buscar $v{\left(x \right)}$:

   1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

      $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

   Ahora resolvemos podintegral.

2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x^{2}$.

      Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{u}{18 u + 2}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{u}{18 u + 2} = \frac{1}{18} - \frac{1}{18 \left(9 u + 1\right)}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \frac{1}{18}\, du = \frac{u}{18}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{1}{18 \left(9 u + 1\right)}\right)\, du = - \frac{\int \frac{1}{9 u + 1}\, du}{18}$

            1. que $u = 9 u + 1$.

               Luego que $du = 9 du$ y ponemos $\frac{du}{9}$:

               $\int \frac{1}{9 u}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{9}$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{9}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\log{\left(9 u + 1 \right)}}{9}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(9 u + 1 \right)}}{162}$

         El resultado es: $\frac{u}{18} - \frac{\log{\left(9 u + 1 \right)}}{162}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{x^{2}}{18} - \frac{\log{\left(9 x^{2} + 1 \right)}}{162}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{3}}{9 x^{2} + 1} = \frac{x}{9} - \frac{x}{9 \left(9 x^{2} + 1\right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{x}{9}\, dx = \frac{\int x\, dx}{9}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{2}}{18}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{x}{9 \left(9 x^{2} + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{x}{9 x^{2} + 1}\, dx}{9}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{x}{9 x^{2} + 1}\, dx = \frac{\int \frac{18 x}{9 x^{2} + 1}\, dx}{18}$

            1. que $u = 9 x^{2} + 1$.

               Luego que $du = 18 x dx$ y ponemos $\frac{du}{18}$:

               $\int \frac{1}{18 u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(9 x^{2} + 1 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(9 x^{2} + 1 \right)}}{18}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(9 x^{2} + 1 \right)}}{162}$

      El resultado es: $\frac{x^{2}}{18} - \frac{\log{\left(9 x^{2} + 1 \right)}}{162}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{3} \operatorname{atan}{\left(3 x \right)}}{3} - \frac{x^{2}}{18} + \frac{\log{\left(9 x^{2} + 1 \right)}}{162}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{3} \operatorname{atan}{\left(3 x \right)}}{3} - \frac{x^{2}}{18} + \frac{\log{\left(9 x^{2} + 1 \right)}}{162}+ \mathrm{constant}$