Integral de cbrt(x+1)x dx

1. que $u = \sqrt[3]{x + 1}$.

   Luego que $du = \frac{dx}{3 \left(x + 1\right)^{\frac{2}{3}}}$ y ponemos $du$:

   $\int \left(3 u^{3} + 3 \left(u^{3} - 1\right)^{2} - 3\right)\, du$

   1. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 u^{3}\, du = 3 \int u^{3}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 u^{4}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 \left(u^{3} - 1\right)^{2}\, du = 3 \int \left(u^{3} - 1\right)^{2}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\left(u^{3} - 1\right)^{2} = u^{6} - 2 u^{3} + 1$

         2. Integramos término a término:

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 2 u^{3}\right)\, du = - 2 \int u^{3}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{4}}{2}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, du = u$

            El resultado es: $\frac{u^{7}}{7} - \frac{u^{4}}{2} + u$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 u^{7}}{7} - \frac{3 u^{4}}{2} + 3 u$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \left(-3\right)\, du = - 3 u$

      El resultado es: $\frac{3 u^{7}}{7} - \frac{3 u^{4}}{4}$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $\frac{3 \left(x + 1\right)^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \left(x + 1\right)^{\frac{4}{3}}}{4}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{3 \left(x + 1\right)^{\frac{4}{3}} \left(4 x - 3\right)}{28}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{3 \left(x + 1\right)^{\frac{4}{3}} \left(4 x - 3\right)}{28}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{3 \left(x + 1\right)^{\frac{4}{3}} \left(4 x - 3\right)}{28}+ \mathrm{constant}$