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Resolución de integrales/ cos2x/ x*sinx/ -x*cos2x+2x*sinx

Integral de -x*cos2x+2x*sinx dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 pi                              
  /                              
 |                               
 |  (-x*cos(2*x) + 2*x*sin(x)) dx
 |                               
/                                
0
∫0π(−xcos⁡(2x)+2xsin⁡(x)) dx\int\limits_{0}^{\pi} \left(- x \cos{\left(2 x \right)} + 2 x \sin{\left(x \right)}\right)\, dx 
Integral((-x)*cos(2*x) + (2*x)*sin(x), (x, 0, pi))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=−xu{\left(x \right)} = - x y que dv⁡(x)=cos⁡(2x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x \right)}.

      Entonces du⁡(x)=−1\operatorname{du}{\left(x \right)} = -1.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=2xu = 2 x.

        Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

        ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−sin⁡(2x)2) dx=−∫sin⁡(2x) dx2\int \left(- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \sin{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

        Método #1

        1. que u=2xu = 2 x.

          Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫sin⁡(u)2 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du2\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)2- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(2x)2- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

        Método #2

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫2sin⁡(x)cos⁡(x) dx=2∫sin⁡(x)cos⁡(x) dx\int 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

          1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

            Método #1

            1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

              Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

              ∫(−u) du\int \left(- u\right)\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫u du=−∫u du\int u\, du = - \int u\, du

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

                Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −cos⁡2(x)2- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

            Método #2

            1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

              Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

              ∫u du\int u\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡2(x)2\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡2(x)- \cos^{2}{\left(x \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: cos⁡(2x)4\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=2xu{\left(x \right)} = 2 x y que dv⁡(x)=sin⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}.

      Entonces du⁡(x)=2\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. La integral del seno es un coseno menos:

        ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−2cos⁡(x)) dx=−2∫cos⁡(x) dx\int \left(- 2 \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \cos{\left(x \right)}\, dx

      1. La integral del coseno es seno:

        ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: −2sin⁡(x)- 2 \sin{\left(x \right)}

    El resultado es: −xsin⁡(2x)2−2xcos⁡(x)+2sin⁡(x)−cos⁡(2x)4- \frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{2} - 2 x \cos{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(x \right)} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −xsin⁡(2x)2−2xcos⁡(x)+2sin⁡(x)−cos⁡(2x)4+constant- \frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{2} - 2 x \cos{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(x \right)} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−xsin⁡(2x)2−2xcos⁡(x)+2sin⁡(x)−cos⁡(2x)4+constant- \frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{2} - 2 x \cos{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(x \right)} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                                 
 |                                                cos(2*x)                x*sin(2*x)
 | (-x*cos(2*x) + 2*x*sin(x)) dx = C + 2*sin(x) - -------- - 2*x*cos(x) - ----------
 |                                                   4                        2     
/
∫(−xcos⁡(2x)+2xsin⁡(x)) dx=C−xsin⁡(2x)2−2xcos⁡(x)+2sin⁡(x)−cos⁡(2x)4\int \left(- x \cos{\left(2 x \right)} + 2 x \sin{\left(x \right)}\right)\, dx = C - \frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{2} - 2 x \cos{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(x \right)} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}
Simplificar
Gráfica
0.000.250.500.751.001.251.501.752.002.252.502.753.00-1010
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
2*pi
2π2 \pi 
=
= 
2*pi
2π2 \pi 
2*pi
Respuesta numérica [src] 
6.28318530717959
6.28318530717959

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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