Integral de (2x+sqrt(lnx))/x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(\sqrt{u} + 2 e^{u}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 e^{u}\, du = 2 \int e^{u}\, du$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $2 e^{u}$

         El resultado es: $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 e^{u}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $2 x + \frac{2 \log{\left(x \right)}^{\frac{3}{2}}}{3}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{2 x + \sqrt{\log{\left(x \right)}}}{x} = 2 + \frac{\sqrt{\log{\left(x \right)}}}{x}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 2\, dx = 2 x$

      1. que $u = \frac{1}{x}$.

         Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- \frac{\sqrt{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}}{u}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{\sqrt{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}}{u}\, du = - \int \frac{\sqrt{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}}{u}\, du$

            1. que $u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$.

               Luego que $du = - \frac{du}{u}$ y ponemos $- du$:

               $\int \left(- \sqrt{u}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \sqrt{u}\, du = - \int \sqrt{u}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{2 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{\frac{3}{2}}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{\frac{3}{2}}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{2 \log{\left(x \right)}^{\frac{3}{2}}}{3}$

      El resultado es: $2 x + \frac{2 \log{\left(x \right)}^{\frac{3}{2}}}{3}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $2 x + \frac{2 \log{\left(x \right)}^{\frac{3}{2}}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$2 x + \frac{2 \log{\left(x \right)}^{\frac{3}{2}}}{3}+ \mathrm{constant}$