Integral de sqrt(1+x)2x dx

1. que $u = \sqrt{x + 1}$.

   Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x + 1}}$ y ponemos $du$:

   $\int \left(4 u^{2} + 4 \left(u^{2} - 1\right)^{2} - 4\right)\, du$

   1. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 4 u^{2}\, du = 4 \int u^{2}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 u^{3}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 4 \left(u^{2} - 1\right)^{2}\, du = 4 \int \left(u^{2} - 1\right)^{2}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\left(u^{2} - 1\right)^{2} = u^{4} - 2 u^{2} + 1$

         2. Integramos término a término:

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 2 u^{2}\right)\, du = - 2 \int u^{2}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 u^{3}}{3}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, du = u$

            El resultado es: $\frac{u^{5}}{5} - \frac{2 u^{3}}{3} + u$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 u^{5}}{5} - \frac{8 u^{3}}{3} + 4 u$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \left(-4\right)\, du = - 4 u$

      El resultado es: $\frac{4 u^{5}}{5} - \frac{4 u^{3}}{3}$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $\frac{4 \left(x + 1\right)^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 \left(x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{4 \left(x + 1\right)^{\frac{3}{2}} \left(3 x - 2\right)}{15}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{4 \left(x + 1\right)^{\frac{3}{2}} \left(3 x - 2\right)}{15}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{4 \left(x + 1\right)^{\frac{3}{2}} \left(3 x - 2\right)}{15}+ \mathrm{constant}$