Integral de tg(3x)+ctg(3x) dx

1. Integramos término a término:

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\tan{\left(3 x \right)} = \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{\cos{\left(3 x \right)}}$

   2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = \cos{\left(3 x \right)}$.

         Luego que $du = - 3 \sin{\left(3 x \right)} dx$ y ponemos $- \frac{du}{3}$:

         $\int \left(- \frac{1}{3 u}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u}\, du = - \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{3}$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(u \right)}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\log{\left(\cos{\left(3 x \right)} \right)}}{3}$

      Método #2

      1. que $u = 3 x$.

         Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

         $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3 \cos{\left(u \right)}}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\cos{\left(u \right)}}\, du = \frac{\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\cos{\left(u \right)}}\, du}{3}$

            1. que $u = \cos{\left(u \right)}$.

               Luego que $du = - \sin{\left(u \right)} du$ y ponemos $- du$:

               $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(u \right)}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \log{\left(\cos{\left(u \right)} \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(\cos{\left(u \right)} \right)}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\log{\left(\cos{\left(3 x \right)} \right)}}{3}$

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\cot{\left(3 x \right)} = \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}}$

   2. que $u = \sin{\left(3 x \right)}$.

      Luego que $du = 3 \cos{\left(3 x \right)} dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{1}{3 u}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{3}$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\log{\left(\sin{\left(3 x \right)} \right)}}{3}$

   El resultado es: $\frac{\log{\left(\sin{\left(3 x \right)} \right)}}{3} - \frac{\log{\left(\cos{\left(3 x \right)} \right)}}{3}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\log{\left(\sin{\left(3 x \right)} \right)}}{3} - \frac{\log{\left(\cos{\left(3 x \right)} \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\log{\left(\sin{\left(3 x \right)} \right)}}{3} - \frac{\log{\left(\cos{\left(3 x \right)} \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$