Integral de tg^4(X)/cos^4(x) dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\tan^{4}{\left(x \right)} \sec^{4}{\left(x \right)} = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan^{4}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}$

2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \tan{\left(x \right)}$.

      Luego que $du = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) dx$ y ponemos $du$:

      $\int \left(u^{6} + u^{4}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

         El resultado es: $\frac{u^{7}}{7} + \frac{u^{5}}{5}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\tan^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{\tan^{5}{\left(x \right)}}{5}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan^{4}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} = \tan^{6}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} + \tan^{4}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = \tan{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) dx$ y ponemos $du$:

         $\int u^{6}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\tan^{7}{\left(x \right)}}{7}$

      1. que $u = \tan{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) dx$ y ponemos $du$:

         $\int u^{4}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\tan^{5}{\left(x \right)}}{5}$

      El resultado es: $\frac{\tan^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{\tan^{5}{\left(x \right)}}{5}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan^{4}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} = \tan^{6}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} + \tan^{4}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = \tan{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) dx$ y ponemos $du$:

         $\int u^{6}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\tan^{7}{\left(x \right)}}{7}$

      1. que $u = \tan{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) dx$ y ponemos $du$:

         $\int u^{4}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\tan^{5}{\left(x \right)}}{5}$

      El resultado es: $\frac{\tan^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{\tan^{5}{\left(x \right)}}{5}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\tan^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{\tan^{5}{\left(x \right)}}{5}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\tan^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{\tan^{5}{\left(x \right)}}{5}+ \mathrm{constant}$