Integral de 3*cos3x+1/2*sin(x/2) dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx}{2}$

      1. que $u = \frac{x}{2}$.

         Luego que $du = \frac{dx}{2}$ y ponemos $2 du$:

         $\int 2 \sin{\left(u \right)}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \sin{\left(u \right)}\, du = 2 \int \sin{\left(u \right)}\, du$

            1. La integral del seno es un coseno menos:

               $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \cos{\left(u \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 3 \cos{\left(3 x \right)}\, dx = 3 \int \cos{\left(3 x \right)}\, dx$

      1. que $u = 3 x$.

         Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

         $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}$

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\sin{\left(3 x \right)}$

   El resultado es: $\sin{\left(3 x \right)} - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $\sin{\left(3 x \right)} - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\sin{\left(3 x \right)} - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\sin{\left(3 x \right)} - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}+ \mathrm{constant}$