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Resolución de integrales/ 2*sinx/ cos^2/ (1-2*sinx)/(cos^2x)

Integral de (1-2*sinx)/(cos^2x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 pi                
 --                
 4                 
  /                
 |                 
 |  1 - 2*sin(x)   
 |  ------------ dx
 |       2         
 |    cos (x)      
 |                 
/                  
0
∫0π41−2sin⁡(x)cos⁡2(x) dx\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1 - 2 \sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\, dx 
Integral((1 - 2*sin(x))/cos(x)^2, (x, 0, pi/4))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      1−2sin⁡(x)cos⁡2(x)=−2sin⁡(x)−1cos⁡2(x)\frac{1 - 2 \sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} = - \frac{2 \sin{\left(x \right)} - 1}{\cos^{2}{\left(x \right)}}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−2sin⁡(x)−1cos⁡2(x)) dx=−∫2sin⁡(x)−1cos⁡2(x) dx\int \left(- \frac{2 \sin{\left(x \right)} - 1}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\right)\, dx = - \int \frac{2 \sin{\left(x \right)} - 1}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\, dx

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        2sin⁡(x)−1cos⁡2(x)=2sin⁡(x)cos⁡2(x)−1cos⁡2(x)\frac{2 \sin{\left(x \right)} - 1}{\cos^{2}{\left(x \right)}} = \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} - \frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫2sin⁡(x)cos⁡2(x) dx=2∫sin⁡(x)cos⁡2(x) dx\int \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\, dx = 2 \int \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\, dx

          1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

            Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

            ∫(−1u2) du\int \left(- \frac{1}{u^{2}}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫1u2 du=−∫1u2 du\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \int \frac{1}{u^{2}}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

              Por lo tanto, el resultado es: 1u\frac{1}{u}

            Si ahora sustituir uu más en:

            1cos⁡(x)\frac{1}{\cos{\left(x \right)}}

          Por lo tanto, el resultado es: 2cos⁡(x)\frac{2}{\cos{\left(x \right)}}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−1cos⁡2(x)) dx=−∫1cos⁡2(x) dx\int \left(- \frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\, dx

          1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

            Pero la integral

            sin⁡(x)cos⁡(x)\frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(x)cos⁡(x)- \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}

        El resultado es: −sin⁡(x)cos⁡(x)+2cos⁡(x)- \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} + \frac{2}{\cos{\left(x \right)}}

      Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(x)cos⁡(x)−2cos⁡(x)\frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} - \frac{2}{\cos{\left(x \right)}}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      1−2sin⁡(x)cos⁡2(x)=−2sin⁡(x)cos⁡2(x)+1cos⁡2(x)\frac{1 - 2 \sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} = - \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−2sin⁡(x)cos⁡2(x)) dx=−2∫sin⁡(x)cos⁡2(x) dx\int \left(- \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\right)\, dx = - 2 \int \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\, dx

        1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

          Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

          ∫(−1u2) du\int \left(- \frac{1}{u^{2}}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫1u2 du=−∫1u2 du\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \int \frac{1}{u^{2}}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

            Por lo tanto, el resultado es: 1u\frac{1}{u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          1cos⁡(x)\frac{1}{\cos{\left(x \right)}}

        Por lo tanto, el resultado es: −2cos⁡(x)- \frac{2}{\cos{\left(x \right)}}

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

        Pero la integral

        sin⁡(x)cos⁡(x)\frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}

      El resultado es: sin⁡(x)cos⁡(x)−2cos⁡(x)\frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} - \frac{2}{\cos{\left(x \right)}}

  2. Ahora simplificar:

    sin⁡(x)−2cos⁡(x)\frac{\sin{\left(x \right)} - 2}{\cos{\left(x \right)}}

  3. Añadimos la constante de integración:

    sin⁡(x)−2cos⁡(x)+constant\frac{\sin{\left(x \right)} - 2}{\cos{\left(x \right)}}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

sin⁡(x)−2cos⁡(x)+constant\frac{\sin{\left(x \right)} - 2}{\cos{\left(x \right)}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                     
 |                                      
 | 1 - 2*sin(x)            2      sin(x)
 | ------------ dx = C - ------ + ------
 |      2                cos(x)   cos(x)
 |   cos (x)                            
 |                                      
/
∫1−2sin⁡(x)cos⁡2(x) dx=C+sin⁡(x)cos⁡(x)−2cos⁡(x)\int \frac{1 - 2 \sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\, dx = C + \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} - \frac{2}{\cos{\left(x \right)}}
Simplificar
Gráfica
0.000.050.100.150.200.250.300.350.400.450.500.550.600.650.700.755-5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
                             /       ___\  
            4              2*\-1 + \/ 2 /  
4 + ------------------ - ------------------
                     2                    2
         /       ___\         /       ___\ 
    -1 + \-1 + \/ 2 /    -1 + \-1 + \/ 2 /
4−1+(−1+2)2−2(−1+2)−1+(−1+2)2+4\frac{4}{-1 + \left(-1 + \sqrt{2}\right)^{2}} - \frac{2 \left(-1 + \sqrt{2}\right)}{-1 + \left(-1 + \sqrt{2}\right)^{2}} + 4 
=
= 
                             /       ___\  
            4              2*\-1 + \/ 2 /  
4 + ------------------ - ------------------
                     2                    2
         /       ___\         /       ___\ 
    -1 + \-1 + \/ 2 /    -1 + \-1 + \/ 2 /
4−1+(−1+2)2−2(−1+2)−1+(−1+2)2+4\frac{4}{-1 + \left(-1 + \sqrt{2}\right)^{2}} - \frac{2 \left(-1 + \sqrt{2}\right)}{-1 + \left(-1 + \sqrt{2}\right)^{2}} + 4 
4 + 4/(-1 + (-1 + sqrt(2))^2) - 2*(-1 + sqrt(2))/(-1 + (-1 + sqrt(2))^2)
Respuesta numérica [src] 
0.17157287525381
0.17157287525381

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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