Integral de (x^3dx)/sqrt^5(x^4+1) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{3}}{\left(\sqrt{x^{4} + 1}\right)^{5}} = \frac{x^{3}}{x^{8} \sqrt{x^{4} + 1} + 2 x^{4} \sqrt{x^{4} + 1} + \sqrt{x^{4} + 1}}$

   2. que $u = x^{2}$.

      Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{u}{2 u^{4} \sqrt{u^{2} + 1} + 4 u^{2} \sqrt{u^{2} + 1} + 2 \sqrt{u^{2} + 1}}\, du$

      1. que $u = u^{2}$.

         Luego que $du = 2 u du$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{1}{4 u^{2} \sqrt{u + 1} + 8 u \sqrt{u + 1} + 4 \sqrt{u + 1}}\, du$

         1. que $u = \sqrt{u + 1}$.

            Luego que $du = \frac{du}{2 \sqrt{u + 1}}$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{4 u^{2} + 2 \left(u^{2} - 1\right)^{2} - 2}\, du$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{1}{4 u^{2} + 2 \left(u^{2} - 1\right)^{2} - 2} = \frac{1}{2 u^{4}}$

            2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{2 u^{4}}\, du = \frac{\int \frac{1}{u^{4}}\, du}{2}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{6 u^{3}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{1}{6 \left(u + 1\right)^{\frac{3}{2}}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{1}{6 \left(u^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{1}{6 \left(x^{4} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{3}}{\left(\sqrt{x^{4} + 1}\right)^{5}} = \frac{x^{3}}{x^{8} \sqrt{x^{4} + 1} + 2 x^{4} \sqrt{x^{4} + 1} + \sqrt{x^{4} + 1}}$

   2. que $u = x^{2}$.

      Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{u}{2 u^{4} \sqrt{u^{2} + 1} + 4 u^{2} \sqrt{u^{2} + 1} + 2 \sqrt{u^{2} + 1}}\, du$

      1. que $u = u^{2}$.

         Luego que $du = 2 u du$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{1}{4 u^{2} \sqrt{u + 1} + 8 u \sqrt{u + 1} + 4 \sqrt{u + 1}}\, du$

         1. que $u = \sqrt{u + 1}$.

            Luego que $du = \frac{du}{2 \sqrt{u + 1}}$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{4 u^{2} + 2 \left(u^{2} - 1\right)^{2} - 2}\, du$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{1}{4 u^{2} + 2 \left(u^{2} - 1\right)^{2} - 2} = \frac{1}{2 u^{4}}$

            2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{2 u^{4}}\, du = \frac{\int \frac{1}{u^{4}}\, du}{2}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{6 u^{3}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{1}{6 \left(u + 1\right)^{\frac{3}{2}}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{1}{6 \left(u^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{1}{6 \left(x^{4} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{1}{6 \left(x^{4} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{1}{6 \left(x^{4} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}+ \mathrm{constant}$