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Resolución de integrales/ x^2+3/ ln(2x^2+3)

Integral de ln(2x^2+3) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  3                 
  /                 
 |                  
 |     /   2    \   
 |  log\2*x  + 3/ dx
 |                  
/                   
-1
∫−13log⁡(2x2+3) dx\int\limits_{-1}^{3} \log{\left(2 x^{2} + 3 \right)}\, dx 
Integral(log(2*x^2 + 3), (x, -1, 3))
Solución detallada

  1. Usamos la integración por partes:

    ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

    que u(x)=log⁡(2x2+3)u{\left(x \right)} = \log{\left(2 x^{2} + 3 \right)} y que dv⁡(x)=1\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1.

    Entonces du⁡(x)=4x2x2+3\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{4 x}{2 x^{2} + 3}.

    Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

    1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

    Ahora resolvemos podintegral.

  2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    ∫4x22x2+3 dx=4∫x22x2+3 dx\int \frac{4 x^{2}}{2 x^{2} + 3}\, dx = 4 \int \frac{x^{2}}{2 x^{2} + 3}\, dx

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x22x2+3=12−32(2x2+3)\frac{x^{2}}{2 x^{2} + 3} = \frac{1}{2} - \frac{3}{2 \left(2 x^{2} + 3\right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−32(2x2+3)) dx=−3∫12x2+3 dx2\int \left(- \frac{3}{2 \left(2 x^{2} + 3\right)}\right)\, dx = - \frac{3 \int \frac{1}{2 x^{2} + 3}\, dx}{2}

          PieceweseRule(subfunctions=[(ArctanRule(a=1, b=2, c=3, context=1/(2*x**2 + 3), symbol=x), True), (ArccothRule(a=1, b=2, c=3, context=1/(2*x**2 + 3), symbol=x), False), (ArctanhRule(a=1, b=2, c=3, context=1/(2*x**2 + 3), symbol=x), False)], context=1/(2*x**2 + 3), symbol=x)

        Por lo tanto, el resultado es: −6atan⁡(6x3)4- \frac{\sqrt{6} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{6} x}{3} \right)}}{4}

      El resultado es: x2−6atan⁡(6x3)4\frac{x}{2} - \frac{\sqrt{6} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{6} x}{3} \right)}}{4}

    Por lo tanto, el resultado es: 2x−6atan⁡(6x3)2 x - \sqrt{6} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{6} x}{3} \right)}

  3. Ahora simplificar:

    xlog⁡(2x2+3)−2x+6atan⁡(6x3)x \log{\left(2 x^{2} + 3 \right)} - 2 x + \sqrt{6} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{6} x}{3} \right)}

  4. Añadimos la constante de integración:

    xlog⁡(2x2+3)−2x+6atan⁡(6x3)+constantx \log{\left(2 x^{2} + 3 \right)} - 2 x + \sqrt{6} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{6} x}{3} \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

xlog⁡(2x2+3)−2x+6atan⁡(6x3)+constantx \log{\left(2 x^{2} + 3 \right)} - 2 x + \sqrt{6} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{6} x}{3} \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                  
 |                                                          /    ___\
 |    /   2    \                     /   2    \     ___     |x*\/ 6 |
 | log\2*x  + 3/ dx = C - 2*x + x*log\2*x  + 3/ + \/ 6 *atan|-------|
 |                                                          \   3   /
/
∫log⁡(2x2+3) dx=C+xlog⁡(2x2+3)−2x+6atan⁡(6x3)\int \log{\left(2 x^{2} + 3 \right)}\, dx = C + x \log{\left(2 x^{2} + 3 \right)} - 2 x + \sqrt{6} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{6} x}{3} \right)}
Simplificar
Gráfica
-1.0-0.53.00.00.51.01.52.02.5-1010
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
                                               /  ___\         
                   ___     /  ___\     ___     |\/ 6 |         
-8 + 3*log(21) + \/ 6 *atan\\/ 6 / + \/ 6 *atan|-----| + log(5)
                                               \  3  /
−8+log⁡(5)+6atan⁡(63)+6atan⁡(6)+3log⁡(21)-8 + \log{\left(5 \right)} + \sqrt{6} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{6}}{3} \right)} + \sqrt{6} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{6} \right)} + 3 \log{\left(21 \right)} 
=
= 
                                               /  ___\         
                   ___     /  ___\     ___     |\/ 6 |         
-8 + 3*log(21) + \/ 6 *atan\\/ 6 / + \/ 6 *atan|-----| + log(5)
                                               \  3  /
−8+log⁡(5)+6atan⁡(63)+6atan⁡(6)+3log⁡(21)-8 + \log{\left(5 \right)} + \sqrt{6} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{6}}{3} \right)} + \sqrt{6} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{6} \right)} + 3 \log{\left(21 \right)} 
-8 + 3*log(21) + sqrt(6)*atan(sqrt(6)) + sqrt(6)*atan(sqrt(6)/3) + log(5)
Respuesta numérica [src] 
7.31845327223212
7.31845327223212

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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