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Resolución de integrales/ (4x+3)/ cos(2x)/ (4x+3)*cos(2x)

Integral de (4x+3)*cos(2x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 pi                      
 --                      
 2                       
  /                      
 |                       
 |  (4*x + 3)*cos(2*x) dx
 |                       
/                        
0
∫0π2(4x+3)cos⁡(2x) dx\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left(4 x + 3\right) \cos{\left(2 x \right)}\, dx 
Integral((4*x + 3)*cos(2*x), (x, 0, pi/2))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=2xu = 2 x.

      Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos dudu:

      ∫(ucos⁡(u)+3cos⁡(u)2) du\int \left(u \cos{\left(u \right)} + \frac{3 \cos{\left(u \right)}}{2}\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=cos⁡(u)\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}.

          Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del seno es un coseno menos:

          ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫3cos⁡(u)2 du=3∫cos⁡(u) du2\int \frac{3 \cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{3 \int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 3sin⁡(u)2\frac{3 \sin{\left(u \right)}}{2}

        El resultado es: usin⁡(u)+3sin⁡(u)2+cos⁡(u)u \sin{\left(u \right)} + \frac{3 \sin{\left(u \right)}}{2} + \cos{\left(u \right)}

      Si ahora sustituir uu más en:

      2xsin⁡(2x)+3sin⁡(2x)2+cos⁡(2x)2 x \sin{\left(2 x \right)} + \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{2} + \cos{\left(2 x \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (4x+3)cos⁡(2x)=4xcos⁡(2x)+3cos⁡(2x)\left(4 x + 3\right) \cos{\left(2 x \right)} = 4 x \cos{\left(2 x \right)} + 3 \cos{\left(2 x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫4xcos⁡(2x) dx=4∫xcos⁡(2x) dx\int 4 x \cos{\left(2 x \right)}\, dx = 4 \int x \cos{\left(2 x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=cos⁡(2x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=2xu = 2 x.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(2x)2 dx=∫sin⁡(2x) dx2\int \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \sin{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

          1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

            Método #1

            1. que u=2xu = 2 x.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫sin⁡(u)2 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du2\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del seno es un coseno menos:

                  ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)2- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −cos⁡(2x)2- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

            Método #2

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫2sin⁡(x)cos⁡(x) dx=2∫sin⁡(x)cos⁡(x) dx\int 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

              1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

                Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

                ∫(−u) du\int \left(- u\right)\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫u du=−∫u du\int u\, du = - \int u\, du

                  1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                    ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

                  Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

                Si ahora sustituir uu más en:

                −cos⁡2(x)2- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡2(x)- \cos^{2}{\left(x \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(2x)4- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: 2xsin⁡(2x)+cos⁡(2x)2 x \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3cos⁡(2x) dx=3∫cos⁡(2x) dx\int 3 \cos{\left(2 x \right)}\, dx = 3 \int \cos{\left(2 x \right)}\, dx

        1. que u=2xu = 2 x.

          Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: 3sin⁡(2x)2\frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{2}

      El resultado es: 2xsin⁡(2x)+3sin⁡(2x)2+cos⁡(2x)2 x \sin{\left(2 x \right)} + \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{2} + \cos{\left(2 x \right)}

    Método #3

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=4x+3u{\left(x \right)} = 4 x + 3 y que dv⁡(x)=cos⁡(2x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x \right)}.

      Entonces du⁡(x)=4\operatorname{du}{\left(x \right)} = 4.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=2xu = 2 x.

        Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

        ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫2sin⁡(2x) dx=2∫sin⁡(2x) dx\int 2 \sin{\left(2 x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(2 x \right)}\, dx

      1. que u=2xu = 2 x.

        Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

        ∫sin⁡(u)2 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du2\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)2- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cos⁡(2x)2- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

      Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(2x)- \cos{\left(2 x \right)}

    Método #4

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (4x+3)cos⁡(2x)=4xcos⁡(2x)+3cos⁡(2x)\left(4 x + 3\right) \cos{\left(2 x \right)} = 4 x \cos{\left(2 x \right)} + 3 \cos{\left(2 x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫4xcos⁡(2x) dx=4∫xcos⁡(2x) dx\int 4 x \cos{\left(2 x \right)}\, dx = 4 \int x \cos{\left(2 x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=cos⁡(2x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=2xu = 2 x.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(2x)2 dx=∫sin⁡(2x) dx2\int \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \sin{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

          1. que u=2xu = 2 x.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫sin⁡(u)2 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du2\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)2- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(2x)2- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(2x)4- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: 2xsin⁡(2x)+cos⁡(2x)2 x \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3cos⁡(2x) dx=3∫cos⁡(2x) dx\int 3 \cos{\left(2 x \right)}\, dx = 3 \int \cos{\left(2 x \right)}\, dx

        1. que u=2xu = 2 x.

          Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: 3sin⁡(2x)2\frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{2}

      El resultado es: 2xsin⁡(2x)+3sin⁡(2x)2+cos⁡(2x)2 x \sin{\left(2 x \right)} + \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{2} + \cos{\left(2 x \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    2xsin⁡(2x)+3sin⁡(2x)2+cos⁡(2x)+constant2 x \sin{\left(2 x \right)} + \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{2} + \cos{\left(2 x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

2xsin⁡(2x)+3sin⁡(2x)2+cos⁡(2x)+constant2 x \sin{\left(2 x \right)} + \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{2} + \cos{\left(2 x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                
 |                             3*sin(2*x)                          
 | (4*x + 3)*cos(2*x) dx = C + ---------- + 2*x*sin(2*x) + cos(2*x)
 |                                 2                               
/
∫(4x+3)cos⁡(2x) dx=C+2xsin⁡(2x)+3sin⁡(2x)2+cos⁡(2x)\int \left(4 x + 3\right) \cos{\left(2 x \right)}\, dx = C + 2 x \sin{\left(2 x \right)} + \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{2} + \cos{\left(2 x \right)}
Simplificar
Gráfica
0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.11.21.31.41.5-1010
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
-2
−2-2 
=
= 
-2
−2-2 
-2
Respuesta numérica [src] 
-2.0
-2.0

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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