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Resolución de integrales/ (arcsin^(-1)(x/2)+1)^(2)-x/(4-x^2)^(1/2)

Integral de (arcsin^(-1)(x/2)+1)^(2)-x/(4-x^2)^(1/2) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                                  
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 |  |/   1       \         x     |   
 |  ||------- + 1|  - -----------| dx
 |  ||    /x\    |       ________|   
 |  ||asin|-|    |      /      2 |   
 |  \\    \2/    /    \/  4 - x  /   
 |                                   
/                                    
0
∫01(−x4−x2+(1+1asin⁡(x2))2) dx\int\limits_{0}^{1} \left(- \frac{x}{\sqrt{4 - x^{2}}} + \left(1 + \frac{1}{\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)^{2}\right)\, dx 
Integral((1/asin(x/2) + 1)^2 - x/sqrt(4 - x^2), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−x4−x2) dx=−∫x4−x2 dx\int \left(- \frac{x}{\sqrt{4 - x^{2}}}\right)\, dx = - \int \frac{x}{\sqrt{4 - x^{2}}}\, dx

      1. que u=4−x2u = \sqrt{4 - x^{2}}.

        Luego que du=−xdx4−x2du = - \frac{x dx}{\sqrt{4 - x^{2}}} y ponemos −du- du:

        ∫(−1) du\int \left(-1\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          False\text{False}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫1 du=u\int 1\, du = u

          Por lo tanto, el resultado es: −u- u

        Si ahora sustituir uu más en:

        −4−x2- \sqrt{4 - x^{2}}

      Por lo tanto, el resultado es: 4−x2\sqrt{4 - x^{2}}

    1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        (1+1asin⁡(x2))2=asin⁡2(x2)+2asin⁡(x2)+1asin⁡2(x2)\left(1 + \frac{1}{\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)^{2} = \frac{\operatorname{asin}^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 2 \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1}{\operatorname{asin}^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}

      2. Vuelva a escribir el integrando:

        asin⁡2(x2)+2asin⁡(x2)+1asin⁡2(x2)=1+2asin⁡(x2)+1asin⁡2(x2)\frac{\operatorname{asin}^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 2 \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1}{\operatorname{asin}^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}} = 1 + \frac{2}{\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)}} + \frac{1}{\operatorname{asin}^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}

      3. Integramos término a término:

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫2asin⁡(x2) dx=2∫1asin⁡(x2) dx\int \frac{2}{\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\, dx = 2 \int \frac{1}{\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\, dx

          1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

            Pero la integral

            ∫1asin⁡(x2) dx\int \frac{1}{\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\, dx

          Por lo tanto, el resultado es: 2∫1asin⁡(x2) dx2 \int \frac{1}{\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\, dx

        1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

          Pero la integral

          ∫1asin⁡2(x2) dx\int \frac{1}{\operatorname{asin}^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\, dx

        El resultado es: x+∫1asin⁡2(x2) dx+2∫1asin⁡(x2) dxx + \int \frac{1}{\operatorname{asin}^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\, dx + 2 \int \frac{1}{\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\, dx

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        (1+1asin⁡(x2))2=1+2asin⁡(x2)+1asin⁡2(x2)\left(1 + \frac{1}{\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)^{2} = 1 + \frac{2}{\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)}} + \frac{1}{\operatorname{asin}^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫2asin⁡(x2) dx=2∫1asin⁡(x2) dx\int \frac{2}{\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\, dx = 2 \int \frac{1}{\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\, dx

          1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

            Pero la integral

            ∫1asin⁡(x2) dx\int \frac{1}{\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\, dx

          Por lo tanto, el resultado es: 2∫1asin⁡(x2) dx2 \int \frac{1}{\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\, dx

        1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

          Pero la integral

          ∫1asin⁡2(x2) dx\int \frac{1}{\operatorname{asin}^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\, dx

        El resultado es: x+∫1asin⁡2(x2) dx+2∫1asin⁡(x2) dxx + \int \frac{1}{\operatorname{asin}^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\, dx + 2 \int \frac{1}{\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\, dx

    El resultado es: x+4−x2+∫1asin⁡2(x2) dx+2∫1asin⁡(x2) dxx + \sqrt{4 - x^{2}} + \int \frac{1}{\operatorname{asin}^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\, dx + 2 \int \frac{1}{\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\, dx

  2. Añadimos la constante de integración:

    x+4−x2+∫1asin⁡2(x2) dx+2∫1asin⁡(x2) dx+constantx + \sqrt{4 - x^{2}} + \int \frac{1}{\operatorname{asin}^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\, dx + 2 \int \frac{1}{\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\, dx+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x+4−x2+∫1asin⁡2(x2) dx+2∫1asin⁡(x2) dx+constantx + \sqrt{4 - x^{2}} + \int \frac{1}{\operatorname{asin}^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\, dx + 2 \int \frac{1}{\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\, dx+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
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 | |/   1       \         x     |                /      2       |    1          |    1       
 | ||------- + 1|  - -----------| dx = C + x + \/  4 - x   + 2* | ------- dx +  | -------- dx
 | ||    /x\    |       ________|                               |     /x\       |     2/x\   
 | ||asin|-|    |      /      2 |                               | asin|-|       | asin |-|   
 | \\    \2/    /    \/  4 - x  /                               |     \2/       |      \2/   
 |                                                              |               |            
/                                                              /               /
∫(−x4−x2+(1+1asin⁡(x2))2) dx=C+x+4−x2+∫1asin⁡2(x2) dx+2∫1asin⁡(x2) dx\int \left(- \frac{x}{\sqrt{4 - x^{2}}} + \left(1 + \frac{1}{\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)^{2}\right)\, dx = C + x + \sqrt{4 - x^{2}} + \int \frac{1}{\operatorname{asin}^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\, dx + 2 \int \frac{1}{\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\, dx
Simplificar
Respuesta numérica [src] 
5.51729471179439e+19
5.51729471179439e+19

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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