Integral de arcsin(4x/7) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \frac{4 x}{7}$.

      Luego que $du = \frac{4 dx}{7}$ y ponemos $\frac{7 du}{4}$:

      $\int \frac{7 \operatorname{asin}{\left(u \right)}}{4}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \operatorname{asin}{\left(u \right)}\, du = \frac{7 \int \operatorname{asin}{\left(u \right)}\, du}{4}$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = \operatorname{asin}{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, du = u$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. que $u = 1 - u^{2}$.

            Luego que $du = - 2 u du$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

            $\int \left(- \frac{1}{2 \sqrt{u}}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{2}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \sqrt{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \sqrt{1 - u^{2}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{7 u \operatorname{asin}{\left(u \right)}}{4} + \frac{7 \sqrt{1 - u^{2}}}{4}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $x \operatorname{asin}{\left(\frac{4 x}{7} \right)} + \frac{7 \sqrt{1 - \frac{16 x^{2}}{49}}}{4}$

   Método #2

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \operatorname{asin}{\left(\frac{4 x}{7} \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{4}{7 \sqrt{1 - \frac{16 x^{2}}{49}}}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, dx = x$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{4 x}{7 \sqrt{1 - \frac{16 x^{2}}{49}}}\, dx = \frac{4 \int \frac{x}{\sqrt{1 - \frac{16 x^{2}}{49}}}\, dx}{7}$

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. que $u = 1 - \frac{16 x^{2}}{49}$.

            Luego que $du = - \frac{32 x dx}{49}$ y ponemos $- \frac{49 du}{32}$:

            $\int \left(- \frac{49}{32 \sqrt{u}}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{49 \int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{32}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{49 \sqrt{u}}{16}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{49 \sqrt{1 - \frac{16 x^{2}}{49}}}{16}$

         Método #2

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{x}{\sqrt{1 - \frac{16 x^{2}}{49}}} = \frac{7 x}{\sqrt{49 - 16 x^{2}}}$

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{7 x}{\sqrt{49 - 16 x^{2}}}\, dx = 7 \int \frac{x}{\sqrt{49 - 16 x^{2}}}\, dx$

            1. que $u = 49 - 16 x^{2}$.

               Luego que $du = - 32 x dx$ y ponemos $- \frac{du}{32}$:

               $\int \left(- \frac{1}{32 \sqrt{u}}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{32}$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sqrt{u}}{16}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{\sqrt{49 - 16 x^{2}}}{16}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{7 \sqrt{49 - 16 x^{2}}}{16}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{7 \sqrt{1 - \frac{16 x^{2}}{49}}}{4}$

2. Ahora simplificar:

   $x \operatorname{asin}{\left(\frac{4 x}{7} \right)} + \frac{\sqrt{49 - 16 x^{2}}}{4}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $x \operatorname{asin}{\left(\frac{4 x}{7} \right)} + \frac{\sqrt{49 - 16 x^{2}}}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x \operatorname{asin}{\left(\frac{4 x}{7} \right)} + \frac{\sqrt{49 - 16 x^{2}}}{4}+ \mathrm{constant}$