Integral de (ln^3x-3lnx)/x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(u^{3} - 3 u\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 3 u\right)\, du = - 3 \int u\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 u^{2}}{2}$

         El resultado es: $\frac{u^{4}}{4} - \frac{3 u^{2}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\log{\left(x \right)}^{4}}{4} - \frac{3 \log{\left(x \right)}^{2}}{2}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\log{\left(x \right)}^{3} - 3 \log{\left(x \right)}}{x} = \frac{\log{\left(x \right)}^{3}}{x} - \frac{3 \log{\left(x \right)}}{x}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = \frac{1}{x}$.

         Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{u}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{u}\, du$

            1. que $u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$.

               Luego que $du = - \frac{du}{u}$ y ponemos $- du$:

               $\int \left(- u^{3}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int u^{3}\, du = - \int u^{3}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{4}}{4}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{4}}{4}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\log{\left(x \right)}^{4}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{3 \log{\left(x \right)}}{x}\right)\, dx = - 3 \int \frac{\log{\left(x \right)}}{x}\, dx$

         1. que $u = \frac{1}{x}$.

            Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\, du$

               1. que $u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$.

                  Luego que $du = - \frac{du}{u}$ y ponemos $- du$:

                  $\int \left(- u\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int u\, du = - \int u\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 \log{\left(x \right)}^{2}}{2}$

      El resultado es: $\frac{\log{\left(x \right)}^{4}}{4} - \frac{3 \log{\left(x \right)}^{2}}{2}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(\log{\left(x \right)}^{2} - 6\right) \log{\left(x \right)}^{2}}{4}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(\log{\left(x \right)}^{2} - 6\right) \log{\left(x \right)}^{2}}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(\log{\left(x \right)}^{2} - 6\right) \log{\left(x \right)}^{2}}{4}+ \mathrm{constant}$