Integral de (xdx)/(1+3x^2)^5 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x}{\left(3 x^{2} + 1\right)^{5}} = \frac{x}{243 x^{10} + 405 x^{8} + 270 x^{6} + 90 x^{4} + 15 x^{2} + 1}$

   2. que $u = x^{2}$.

      Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{1}{486 u^{5} + 810 u^{4} + 540 u^{3} + 180 u^{2} + 30 u + 2}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{1}{486 u^{5} + 810 u^{4} + 540 u^{3} + 180 u^{2} + 30 u + 2} = \frac{1}{2 \left(3 u + 1\right)^{5}}$

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{2 \left(3 u + 1\right)^{5}}\, du = \frac{\int \frac{1}{\left(3 u + 1\right)^{5}}\, du}{2}$

         1. que $u = 3 u + 1$.

            Luego que $du = 3 du$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

            $\int \frac{1}{3 u^{5}}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u^{5}}\, du = \frac{\int \frac{1}{u^{5}}\, du}{3}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{5}}\, du = - \frac{1}{4 u^{4}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{12 u^{4}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{1}{12 \left(3 u + 1\right)^{4}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{24 \left(3 u + 1\right)^{4}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{1}{24 \left(3 x^{2} + 1\right)^{4}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x}{\left(3 x^{2} + 1\right)^{5}} = \frac{x}{243 x^{10} + 405 x^{8} + 270 x^{6} + 90 x^{4} + 15 x^{2} + 1}$

   2. que $u = x^{2}$.

      Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{1}{486 u^{5} + 810 u^{4} + 540 u^{3} + 180 u^{2} + 30 u + 2}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{1}{486 u^{5} + 810 u^{4} + 540 u^{3} + 180 u^{2} + 30 u + 2} = \frac{1}{2 \left(3 u + 1\right)^{5}}$

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{2 \left(3 u + 1\right)^{5}}\, du = \frac{\int \frac{1}{\left(3 u + 1\right)^{5}}\, du}{2}$

         1. que $u = 3 u + 1$.

            Luego que $du = 3 du$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

            $\int \frac{1}{3 u^{5}}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u^{5}}\, du = \frac{\int \frac{1}{u^{5}}\, du}{3}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{5}}\, du = - \frac{1}{4 u^{4}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{12 u^{4}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{1}{12 \left(3 u + 1\right)^{4}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{24 \left(3 u + 1\right)^{4}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{1}{24 \left(3 x^{2} + 1\right)^{4}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{1}{24 \left(3 x^{2} + 1\right)^{4}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{1}{24 \left(3 x^{2} + 1\right)^{4}}+ \mathrm{constant}$