Integral de √1+2sinx*cosx dx

1. Integramos término a término:

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $2 du$:

         $\int 2 u\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u\, du = 2 \int u\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $u^{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\sin^{2}{\left(x \right)}$

      Método #2

      1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- 2 du$:

         $\int \left(- 2 u\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u\, du = - 2 \int u\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- u^{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \cos^{2}{\left(x \right)}$

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int \sqrt{1}\, dx = x$

   El resultado es: $x + \sin^{2}{\left(x \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $x + \sin^{2}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x + \sin^{2}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$