Integral de -(2x+2)+sqrt(e^(x/2-1/2)) dx

1. Integramos término a término:

   1. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 2 x\right)\, dx = - 2 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- x^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \left(-2\right)\, dx = - 2 x$

      El resultado es: $- x^{2} - 2 x$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\sqrt{e^{\frac{x}{2} - \frac{1}{2}}} = \frac{\sqrt{e^{\frac{x}{2}}}}{e^{\frac{1}{4}}}$

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\sqrt{e^{\frac{x}{2}}}}{e^{\frac{1}{4}}}\, dx = \frac{\int \sqrt{e^{\frac{x}{2}}}\, dx}{e^{\frac{1}{4}}}$

         1. que $u = e^{\frac{x}{2}}$.

            Luego que $du = \frac{e^{\frac{x}{2}} dx}{2}$ y ponemos $2 du$:

            $\int \frac{2}{\sqrt{u}}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $4 \sqrt{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $4 \sqrt{e^{\frac{x}{2}}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 \sqrt{e^{\frac{x}{2}}}}{e^{\frac{1}{4}}}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\sqrt{e^{\frac{x}{2} - \frac{1}{2}}} = \frac{\sqrt{e^{\frac{x}{2}}}}{e^{\frac{1}{4}}}$

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\sqrt{e^{\frac{x}{2}}}}{e^{\frac{1}{4}}}\, dx = \frac{\int \sqrt{e^{\frac{x}{2}}}\, dx}{e^{\frac{1}{4}}}$

         1. que $u = e^{\frac{x}{2}}$.

            Luego que $du = \frac{e^{\frac{x}{2}} dx}{2}$ y ponemos $2 du$:

            $\int \frac{2}{\sqrt{u}}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $4 \sqrt{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $4 \sqrt{e^{\frac{x}{2}}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 \sqrt{e^{\frac{x}{2}}}}{e^{\frac{1}{4}}}$

   El resultado es: $- x^{2} - 2 x + \frac{4 \sqrt{e^{\frac{x}{2}}}}{e^{\frac{1}{4}}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- x^{2} - 2 x + \frac{4 \sqrt{e^{\frac{x}{2}}}}{e^{\frac{1}{4}}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- x^{2} - 2 x + \frac{4 \sqrt{e^{\frac{x}{2}}}}{e^{\frac{1}{4}}}+ \mathrm{constant}$