Integral de (-x-1)^2-(x^2-4x+1)^2 dx

1. Integramos término a término:

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = - x - 1$.

         Luego que $du = - dx$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- u^{2}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\left(- x - 1\right)^{3}}{3}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(- x - 1\right)^{2} = x^{2} + 2 x + 1$

      2. Integramos término a término:

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 x\, dx = 2 \int x\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $x^{2}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, dx = x$

         El resultado es: $\frac{x^{3}}{3} + x^{2} + x$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \left(\left(x^{2} - 4 x\right) + 1\right)^{2}\right)\, dx = - \int \left(\left(x^{2} - 4 x\right) + 1\right)^{2}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(\left(x^{2} - 4 x\right) + 1\right)^{2} = x^{4} - 8 x^{3} + 18 x^{2} - 8 x + 1$

      2. Integramos término a término:

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 8 x^{3}\right)\, dx = - 8 \int x^{3}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 2 x^{4}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 18 x^{2}\, dx = 18 \int x^{2}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $6 x^{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 8 x\right)\, dx = - 8 \int x\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 4 x^{2}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, dx = x$

         El resultado es: $\frac{x^{5}}{5} - 2 x^{4} + 6 x^{3} - 4 x^{2} + x$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{5}}{5} + 2 x^{4} - 6 x^{3} + 4 x^{2} - x$

   El resultado es: $- \frac{x^{5}}{5} + 2 x^{4} - 6 x^{3} + 4 x^{2} - x - \frac{\left(- x - 1\right)^{3}}{3}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{x^{5}}{5} + 2 x^{4} - \frac{17 x^{3}}{3} + 5 x^{2} + \frac{1}{3}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{x^{5}}{5} + 2 x^{4} - \frac{17 x^{3}}{3} + 5 x^{2} + \frac{1}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{x^{5}}{5} + 2 x^{4} - \frac{17 x^{3}}{3} + 5 x^{2} + \frac{1}{3}+ \mathrm{constant}$