Integral de tg(ln(x))/x+2 dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int 2\, dx = 2 x$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$:

         $\int \tan{\left(u \right)}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\tan{\left(u \right)} = \frac{\sin{\left(u \right)}}{\cos{\left(u \right)}}$

         2. que $u = \cos{\left(u \right)}$.

            Luego que $du = - \sin{\left(u \right)} du$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(u \right)}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \log{\left(\cos{\left(u \right)} \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \log{\left(\cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)} \right)}$

      Método #2

      1. que $u = \frac{1}{x}$.

         Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- \frac{\tan{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)}}{u}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{\tan{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)}}{u}\, du = - \int \frac{\tan{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)}}{u}\, du$

            1. que $u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$.

               Luego que $du = - \frac{du}{u}$ y ponemos $- du$:

               $\int \left(- \tan{\left(u \right)}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \tan{\left(u \right)}\, du = - \int \tan{\left(u \right)}\, du$

                  1. Vuelva a escribir el integrando:

                     $\tan{\left(u \right)} = \frac{\sin{\left(u \right)}}{\cos{\left(u \right)}}$

                  2. que $u = \cos{\left(u \right)}$.

                     Luego que $du = - \sin{\left(u \right)} du$ y ponemos $- du$:

                     $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

                        1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                        Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(u \right)}$

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $- \log{\left(\cos{\left(u \right)} \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\log{\left(\cos{\left(u \right)} \right)}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(\cos{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)} \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(\cos{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)} \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \log{\left(\cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)} \right)}$

   El resultado es: $2 x - \log{\left(\cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)} \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $2 x - \log{\left(\cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)} \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$2 x - \log{\left(\cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)} \right)}+ \mathrm{constant}$