Integral de 1+sec^4(x) dx

1. Integramos término a término:

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\sec^{4}{\left(x \right)} = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \sec^{2}{\left(x \right)}$

   2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = \tan{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) dx$ y ponemos $du$:

         $\int \left(u^{2} + 1\right)\, du$

         1. Integramos término a término:

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, du = u$

            El resultado es: $\frac{u^{3}}{3} + u$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\tan^{3}{\left(x \right)}}{3} + \tan{\left(x \right)}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \sec^{2}{\left(x \right)} = \tan^{2}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} + \sec^{2}{\left(x \right)}$

      2. Integramos término a término:

         1. que $u = \tan{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\tan^{3}{\left(x \right)}}{3}$

         1. $\int \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx = \tan{\left(x \right)}$

         El resultado es: $\frac{\tan^{3}{\left(x \right)}}{3} + \tan{\left(x \right)}$

      Método #3

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \sec^{2}{\left(x \right)} = \tan^{2}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} + \sec^{2}{\left(x \right)}$

      2. Integramos término a término:

         1. que $u = \tan{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\tan^{3}{\left(x \right)}}{3}$

         1. $\int \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx = \tan{\left(x \right)}$

         El resultado es: $\frac{\tan^{3}{\left(x \right)}}{3} + \tan{\left(x \right)}$

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int 1\, dx = x$

   El resultado es: $x + \frac{\tan^{3}{\left(x \right)}}{3} + \tan{\left(x \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $x + \frac{\tan^{3}{\left(x \right)}}{3} + \tan{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x + \frac{\tan^{3}{\left(x \right)}}{3} + \tan{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$