Sr Examen

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Integral de xln(1+x^2) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  1                 
  /                 
 |                  
 |       /     2\   
 |  x*log\1 + x / dx
 |                  
/                   
0                   
01xlog(x2+1)dx\int\limits_{0}^{1} x \log{\left(x^{2} + 1 \right)}\, dx
Integral(x*log(1 + x^2), (x, 0, 1))
Solución detallada
  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=log(x2+1)u = \log{\left(x^{2} + 1 \right)}.

      Luego que du=2xdxx2+1du = \frac{2 x dx}{x^{2} + 1} y ponemos du2\frac{du}{2}:

      ueu2du\int \frac{u e^{u}}{2}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ueudu=ueudu2\int u e^{u}\, du = \frac{\int u e^{u}\, du}{2}

        1. Usamos la integración por partes:

          udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

          Entonces du(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral de la función exponencial es la mesma.

          eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

        Por lo tanto, el resultado es: ueu2eu2\frac{u e^{u}}{2} - \frac{e^{u}}{2}

      Si ahora sustituir uu más en:

      x22+(x2+1)log(x2+1)212- \frac{x^{2}}{2} + \frac{\left(x^{2} + 1\right) \log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2} - \frac{1}{2}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=log(x2+1)u{\left(x \right)} = \log{\left(x^{2} + 1 \right)} y que dv(x)=x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x.

      Entonces du(x)=2xx2+1\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{2 x}{x^{2} + 1}.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

        xdx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. que u=x2u = x^{2}.

      Luego que du=2xdxdu = 2 x dx y ponemos dudu:

      u2u+2du\int \frac{u}{2 u + 2}\, du

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        u2u+2=1212(u+1)\frac{u}{2 u + 2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \left(u + 1\right)}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          12du=u2\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          (12(u+1))du=1u+1du2\int \left(- \frac{1}{2 \left(u + 1\right)}\right)\, du = - \frac{\int \frac{1}{u + 1}\, du}{2}

          1. que u=u+1u = u + 1.

            Luego que du=dudu = du y ponemos dudu:

            1udu\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log(u+1)\log{\left(u + 1 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: log(u+1)2- \frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{2}

        El resultado es: u2log(u+1)2\frac{u}{2} - \frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{2}

      Si ahora sustituir uu más en:

      x22log(x2+1)2\frac{x^{2}}{2} - \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}

  2. Añadimos la constante de integración:

    x22+(x2+1)log(x2+1)212+constant- \frac{x^{2}}{2} + \frac{\left(x^{2} + 1\right) \log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2} - \frac{1}{2}+ \mathrm{constant}


Respuesta:

x22+(x2+1)log(x2+1)212+constant- \frac{x^{2}}{2} + \frac{\left(x^{2} + 1\right) \log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2} - \frac{1}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                                      
 |                               2   /     2\    /     2\
 |      /     2\        1       x    \1 + x /*log\1 + x /
 | x*log\1 + x / dx = - - + C - -- + --------------------
 |                      2       2             2          
/                                                        
xlog(x2+1)dx=Cx22+(x2+1)log(x2+1)212\int x \log{\left(x^{2} + 1 \right)}\, dx = C - \frac{x^{2}}{2} + \frac{\left(x^{2} + 1\right) \log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2} - \frac{1}{2}
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900.01.0
Respuesta [src]
-1/2 + log(2)
12+log(2)- \frac{1}{2} + \log{\left(2 \right)}
=
=
-1/2 + log(2)
12+log(2)- \frac{1}{2} + \log{\left(2 \right)}
-1/2 + log(2)
Respuesta numérica [src]
0.193147180559945
0.193147180559945

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.