Integral de xln(1+x^2) dx
Solución
Solución detallada
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Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
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que u=log(x2+1).
Luego que du=x2+12xdx y ponemos 2du:
∫2ueudu
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫ueudu=2∫ueudu
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Usamos la integración por partes:
∫udv=uv−∫vdu
que u(u)=u y que dv(u)=eu.
Entonces du(u)=1.
Para buscar v(u):
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La integral de la función exponencial es la mesma.
∫eudu=eu
Ahora resolvemos podintegral.
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La integral de la función exponencial es la mesma.
∫eudu=eu
Por lo tanto, el resultado es: 2ueu−2eu
Si ahora sustituir u más en:
−2x2+2(x2+1)log(x2+1)−21
Método #2
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Usamos la integración por partes:
∫udv=uv−∫vdu
que u(x)=log(x2+1) y que dv(x)=x.
Entonces du(x)=x2+12x.
Para buscar v(x):
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Integral xn es n+1xn+1 when n=−1:
∫xdx=2x2
Ahora resolvemos podintegral.
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que u=x2.
Luego que du=2xdx y ponemos du:
∫2u+2udu
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Vuelva a escribir el integrando:
2u+2u=21−2(u+1)1
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Integramos término a término:
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La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
∫21du=2u
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫(−2(u+1)1)du=−2∫u+11du
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que u=u+1.
Luego que du=du y ponemos du:
∫u1du
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Integral u1 es log(u).
Si ahora sustituir u más en:
log(u+1)
Por lo tanto, el resultado es: −2log(u+1)
El resultado es: 2u−2log(u+1)
Si ahora sustituir u más en:
2x2−2log(x2+1)
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Añadimos la constante de integración:
−2x2+2(x2+1)log(x2+1)−21+constant
Respuesta:
−2x2+2(x2+1)log(x2+1)−21+constant
Respuesta (Indefinida)
[src]
/
| 2 / 2\ / 2\
| / 2\ 1 x \1 + x /*log\1 + x /
| x*log\1 + x / dx = - - + C - -- + --------------------
| 2 2 2
/
∫xlog(x2+1)dx=C−2x2+2(x2+1)log(x2+1)−21
Gráfica
−21+log(2)
=
−21+log(2)
Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.