Integral de (1-cosx)/x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \frac{1}{x}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{\cos{\left(\frac{1}{u} \right)} - 1}{u}\, du$

      1. que $u = \frac{1}{u}$.

         Luego que $du = - \frac{du}{u^{2}}$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- \frac{\cos{\left(u \right)} - 1}{u}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{\cos{\left(u \right)} - 1}{u}\, du = - \int \frac{\cos{\left(u \right)} - 1}{u}\, du$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{\cos{\left(u \right)} - 1}{u} = \frac{\cos{\left(u \right)}}{u} - \frac{1}{u}$

            2. Integramos término a término:

               CiRule(a=1, b=0, context=cos(_u)/_u, symbol=_u)

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(u \right)}$

               El resultado es: $- \log{\left(u \right)} + \operatorname{Ci}{\left(u \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\log{\left(u \right)} - \operatorname{Ci}{\left(u \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \log{\left(u \right)} - \operatorname{Ci}{\left(\frac{1}{u} \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\log{\left(x \right)} - \operatorname{Ci}{\left(x \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x} = - \frac{\cos{\left(x \right)} - 1}{x}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{\cos{\left(x \right)} - 1}{x}\right)\, dx = - \int \frac{\cos{\left(x \right)} - 1}{x}\, dx$

      1. que $u = \frac{1}{x}$.

         Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- \frac{\cos{\left(\frac{1}{u} \right)} - 1}{u}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{\cos{\left(\frac{1}{u} \right)} - 1}{u}\, du = - \int \frac{\cos{\left(\frac{1}{u} \right)} - 1}{u}\, du$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{\cos{\left(\frac{1}{u} \right)} - 1}{u} = \frac{\cos{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u} - \frac{1}{u}$

            2. Integramos término a término:

               1. que $u = \frac{1}{u}$.

                  Luego que $du = - \frac{du}{u^{2}}$ y ponemos $- du$:

                  $\int \left(- \frac{\cos{\left(u \right)}}{u}\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{u}\, du = - \int \frac{\cos{\left(u \right)}}{u}\, du$

                     CiRule(a=1, b=0, context=cos(_u)/_u, symbol=_u)

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \operatorname{Ci}{\left(u \right)}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \operatorname{Ci}{\left(\frac{1}{u} \right)}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(u \right)}$

               El resultado es: $- \log{\left(u \right)} - \operatorname{Ci}{\left(\frac{1}{u} \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\log{\left(u \right)} + \operatorname{Ci}{\left(\frac{1}{u} \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \log{\left(x \right)} + \operatorname{Ci}{\left(x \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\log{\left(x \right)} - \operatorname{Ci}{\left(x \right)}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x} = - \frac{\cos{\left(x \right)}}{x} + \frac{1}{x}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{\cos{\left(x \right)}}{x}\right)\, dx = - \int \frac{\cos{\left(x \right)}}{x}\, dx$

         CiRule(a=1, b=0, context=cos(x)/x, symbol=x)

         Por lo tanto, el resultado es: $- \operatorname{Ci}{\left(x \right)}$

      1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

      El resultado es: $\log{\left(x \right)} - \operatorname{Ci}{\left(x \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\log{\left(x \right)} - \operatorname{Ci}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\log{\left(x \right)} - \operatorname{Ci}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$