Integral de (x-1)/ln(x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{e^{2 u} - e^{u}}{u}\, du$

      1. que $u = \frac{1}{u}$.

         Luego que $du = - \frac{du}{u^{2}}$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- \frac{e^{\frac{2}{u}} - e^{\frac{1}{u}}}{u}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{e^{\frac{2}{u}} - e^{\frac{1}{u}}}{u}\, du = - \int \frac{e^{\frac{2}{u}} - e^{\frac{1}{u}}}{u}\, du$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{e^{\frac{2}{u}} - e^{\frac{1}{u}}}{u} = \frac{e^{\frac{2}{u}}}{u} - \frac{e^{\frac{1}{u}}}{u}$

            2. Integramos término a término:

               1. que $u = \frac{1}{u}$.

                  Luego que $du = - \frac{du}{u^{2}}$ y ponemos $- du$:

                  $\int \left(- \frac{e^{2 u}}{u}\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{e^{2 u}}{u}\, du = - \int \frac{e^{2 u}}{u}\, du$

                     EiRule(a=2, b=0, context=exp(2*_u)/_u, symbol=_u)

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \operatorname{Ei}{\left(2 u \right)}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \operatorname{Ei}{\left(\frac{2}{u} \right)}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{e^{\frac{1}{u}}}{u}\right)\, du = - \int \frac{e^{\frac{1}{u}}}{u}\, du$

                  1. que $u = \frac{1}{u}$.

                     Luego que $du = - \frac{du}{u^{2}}$ y ponemos $- du$:

                     $\int \left(- \frac{e^{u}}{u}\right)\, du$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \frac{e^{u}}{u}\, du = - \int \frac{e^{u}}{u}\, du$

                        EiRule(a=1, b=0, context=exp(_u)/_u, symbol=_u)

                        Por lo tanto, el resultado es: $- \operatorname{Ei}{\left(u \right)}$

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $- \operatorname{Ei}{\left(\frac{1}{u} \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\operatorname{Ei}{\left(\frac{1}{u} \right)}$

               El resultado es: $\operatorname{Ei}{\left(\frac{1}{u} \right)} - \operatorname{Ei}{\left(\frac{2}{u} \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \operatorname{Ei}{\left(\frac{1}{u} \right)} + \operatorname{Ei}{\left(\frac{2}{u} \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\operatorname{Ei}{\left(2 u \right)} - \operatorname{Ei}{\left(u \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \operatorname{Ei}{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + \operatorname{Ei}{\left(2 \log{\left(x \right)} \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x - 1}{\log{\left(x \right)}} = \frac{x}{\log{\left(x \right)}} - \frac{1}{\log{\left(x \right)}}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{e^{2 u}}{u}\, du$

         EiRule(a=2, b=0, context=exp(2*_u)/_u, symbol=_u)

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\operatorname{Ei}{\left(2 \log{\left(x \right)} \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{1}{\log{\left(x \right)}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{\log{\left(x \right)}}\, dx$

         LiRule(a=1, b=0, context=1/log(x), symbol=x)

         Por lo tanto, el resultado es: $- \operatorname{li}{\left(x \right)}$

      El resultado es: $\operatorname{Ei}{\left(2 \log{\left(x \right)} \right)} - \operatorname{li}{\left(x \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \operatorname{Ei}{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + \operatorname{Ei}{\left(2 \log{\left(x \right)} \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \operatorname{Ei}{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + \operatorname{Ei}{\left(2 \log{\left(x \right)} \right)}+ \mathrm{constant}$