Sr Examen

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Integral de (1-cos(t))*2*sin(t/2) dt

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
 2*pi                        
   /                         
  |                          
  |                    /t\   
  |  (1 - cos(t))*2*sin|-| dt
  |                    \2/   
  |                          
 /                           
 0                           
02π2(1cos(t))sin(t2)dt\int\limits_{0}^{2 \pi} 2 \left(1 - \cos{\left(t \right)}\right) \sin{\left(\frac{t}{2} \right)}\, dt
Integral(((1 - cos(t))*2)*sin(t/2), (t, 0, 2*pi))
Solución detallada
  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      2(1cos(t))sin(t2)=2sin(t2)cos(t)+2sin(t2)2 \left(1 - \cos{\left(t \right)}\right) \sin{\left(\frac{t}{2} \right)} = - 2 \sin{\left(\frac{t}{2} \right)} \cos{\left(t \right)} + 2 \sin{\left(\frac{t}{2} \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        (2sin(t2)cos(t))dt=2sin(t2)cos(t)dt\int \left(- 2 \sin{\left(\frac{t}{2} \right)} \cos{\left(t \right)}\right)\, dt = - 2 \int \sin{\left(\frac{t}{2} \right)} \cos{\left(t \right)}\, dt

        1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

          Pero la integral

          4sin(t2)sin(t)3+2cos(t2)cos(t)3\frac{4 \sin{\left(\frac{t}{2} \right)} \sin{\left(t \right)}}{3} + \frac{2 \cos{\left(\frac{t}{2} \right)} \cos{\left(t \right)}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: 8sin(t2)sin(t)34cos(t2)cos(t)3- \frac{8 \sin{\left(\frac{t}{2} \right)} \sin{\left(t \right)}}{3} - \frac{4 \cos{\left(\frac{t}{2} \right)} \cos{\left(t \right)}}{3}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        2sin(t2)dt=2sin(t2)dt\int 2 \sin{\left(\frac{t}{2} \right)}\, dt = 2 \int \sin{\left(\frac{t}{2} \right)}\, dt

        1. que u=t2u = \frac{t}{2}.

          Luego que du=dt2du = \frac{dt}{2} y ponemos 2du2 du:

          2sin(u)du\int 2 \sin{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            sin(u)du=2sin(u)du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 2 \int \sin{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              sin(u)du=cos(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: 2cos(u)- 2 \cos{\left(u \right)}

          Si ahora sustituir uu más en:

          2cos(t2)- 2 \cos{\left(\frac{t}{2} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 4cos(t2)- 4 \cos{\left(\frac{t}{2} \right)}

      El resultado es: 8sin(t2)sin(t)34cos(t2)cos(t)34cos(t2)- \frac{8 \sin{\left(\frac{t}{2} \right)} \sin{\left(t \right)}}{3} - \frac{4 \cos{\left(\frac{t}{2} \right)} \cos{\left(t \right)}}{3} - 4 \cos{\left(\frac{t}{2} \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      2(1cos(t))sin(t2)=2sin(t2)cos(t)+2sin(t2)2 \left(1 - \cos{\left(t \right)}\right) \sin{\left(\frac{t}{2} \right)} = - 2 \sin{\left(\frac{t}{2} \right)} \cos{\left(t \right)} + 2 \sin{\left(\frac{t}{2} \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        (2sin(t2)cos(t))dt=2sin(t2)cos(t)dt\int \left(- 2 \sin{\left(\frac{t}{2} \right)} \cos{\left(t \right)}\right)\, dt = - 2 \int \sin{\left(\frac{t}{2} \right)} \cos{\left(t \right)}\, dt

        1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

          Pero la integral

          4sin(t2)sin(t)3+2cos(t2)cos(t)3\frac{4 \sin{\left(\frac{t}{2} \right)} \sin{\left(t \right)}}{3} + \frac{2 \cos{\left(\frac{t}{2} \right)} \cos{\left(t \right)}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: 8sin(t2)sin(t)34cos(t2)cos(t)3- \frac{8 \sin{\left(\frac{t}{2} \right)} \sin{\left(t \right)}}{3} - \frac{4 \cos{\left(\frac{t}{2} \right)} \cos{\left(t \right)}}{3}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        2sin(t2)dt=2sin(t2)dt\int 2 \sin{\left(\frac{t}{2} \right)}\, dt = 2 \int \sin{\left(\frac{t}{2} \right)}\, dt

        1. que u=t2u = \frac{t}{2}.

          Luego que du=dt2du = \frac{dt}{2} y ponemos 2du2 du:

          2sin(u)du\int 2 \sin{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            sin(u)du=2sin(u)du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 2 \int \sin{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              sin(u)du=cos(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: 2cos(u)- 2 \cos{\left(u \right)}

          Si ahora sustituir uu más en:

          2cos(t2)- 2 \cos{\left(\frac{t}{2} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 4cos(t2)- 4 \cos{\left(\frac{t}{2} \right)}

      El resultado es: 8sin(t2)sin(t)34cos(t2)cos(t)34cos(t2)- \frac{8 \sin{\left(\frac{t}{2} \right)} \sin{\left(t \right)}}{3} - \frac{4 \cos{\left(\frac{t}{2} \right)} \cos{\left(t \right)}}{3} - 4 \cos{\left(\frac{t}{2} \right)}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      2(1cos(t))sin(t2)=2sin(t2)cos(t)+2sin(t2)2 \left(1 - \cos{\left(t \right)}\right) \sin{\left(\frac{t}{2} \right)} = - 2 \sin{\left(\frac{t}{2} \right)} \cos{\left(t \right)} + 2 \sin{\left(\frac{t}{2} \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        (2sin(t2)cos(t))dt=2sin(t2)cos(t)dt\int \left(- 2 \sin{\left(\frac{t}{2} \right)} \cos{\left(t \right)}\right)\, dt = - 2 \int \sin{\left(\frac{t}{2} \right)} \cos{\left(t \right)}\, dt

        1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

          Pero la integral

          4sin(t2)sin(t)3+2cos(t2)cos(t)3\frac{4 \sin{\left(\frac{t}{2} \right)} \sin{\left(t \right)}}{3} + \frac{2 \cos{\left(\frac{t}{2} \right)} \cos{\left(t \right)}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: 8sin(t2)sin(t)34cos(t2)cos(t)3- \frac{8 \sin{\left(\frac{t}{2} \right)} \sin{\left(t \right)}}{3} - \frac{4 \cos{\left(\frac{t}{2} \right)} \cos{\left(t \right)}}{3}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        2sin(t2)dt=2sin(t2)dt\int 2 \sin{\left(\frac{t}{2} \right)}\, dt = 2 \int \sin{\left(\frac{t}{2} \right)}\, dt

        1. que u=t2u = \frac{t}{2}.

          Luego que du=dt2du = \frac{dt}{2} y ponemos 2du2 du:

          2sin(u)du\int 2 \sin{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            sin(u)du=2sin(u)du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 2 \int \sin{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              sin(u)du=cos(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: 2cos(u)- 2 \cos{\left(u \right)}

          Si ahora sustituir uu más en:

          2cos(t2)- 2 \cos{\left(\frac{t}{2} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 4cos(t2)- 4 \cos{\left(\frac{t}{2} \right)}

      El resultado es: 8sin(t2)sin(t)34cos(t2)cos(t)34cos(t2)- \frac{8 \sin{\left(\frac{t}{2} \right)} \sin{\left(t \right)}}{3} - \frac{4 \cos{\left(\frac{t}{2} \right)} \cos{\left(t \right)}}{3} - 4 \cos{\left(\frac{t}{2} \right)}

  2. Ahora simplificar:

    6cos(t2)+2cos(3t2)3- 6 \cos{\left(\frac{t}{2} \right)} + \frac{2 \cos{\left(\frac{3 t}{2} \right)}}{3}

  3. Añadimos la constante de integración:

    6cos(t2)+2cos(3t2)3+constant- 6 \cos{\left(\frac{t}{2} \right)} + \frac{2 \cos{\left(\frac{3 t}{2} \right)}}{3}+ \mathrm{constant}


Respuesta:

6cos(t2)+2cos(3t2)3+constant- 6 \cos{\left(\frac{t}{2} \right)} + \frac{2 \cos{\left(\frac{3 t}{2} \right)}}{3}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                                      /t\               /t\
 |                                           8*sin(t)*sin|-|   4*cos(t)*cos|-|
 |                   /t\               /t\               \2/               \2/
 | (1 - cos(t))*2*sin|-| dt = C - 4*cos|-| - --------------- - ---------------
 |                   \2/               \2/          3                 3       
 |                                                                            
/                                                                             
2(1cos(t))sin(t2)dt=C8sin(t2)sin(t)34cos(t2)cos(t)34cos(t2)\int 2 \left(1 - \cos{\left(t \right)}\right) \sin{\left(\frac{t}{2} \right)}\, dt = C - \frac{8 \sin{\left(\frac{t}{2} \right)} \sin{\left(t \right)}}{3} - \frac{4 \cos{\left(\frac{t}{2} \right)} \cos{\left(t \right)}}{3} - 4 \cos{\left(\frac{t}{2} \right)}
Gráfica
0.00.51.01.52.02.53.03.54.04.55.05.56.0-1010
Respuesta [src]
32/3
323\frac{32}{3}
=
=
32/3
323\frac{32}{3}
32/3
Respuesta numérica [src]
10.6666666666667
10.6666666666667

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.